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Bel exercice de ... d'Algèbre???

 
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Auteur Message
musichien
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 31 Aoû 2005
Messages: 1128
Localisation: devant mon ordi

MessagePosté le: 07 Jan 2008, 22:08    Sujet du message: Bel exercice de ... d'Algèbre??? Répondre en citant

Soit a_1, ..., a_n et b_1, ... , b_n des nombres (je ne crois pas que cela ait une importance de préciser dans quoi donc on va dire dans C ou dans R) tels que les a_i sont distincts dans leur ensemble des b_i (en comptant les multiplicités), et tels que l'ensemble des a_i + a_j et des b_k + b_l soit le même (avec multiplicité je pense).

Montrer que n est une puissance de 2.

Exemple: pour n=4 : (0,1,2,4) et (-0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ).
Pour n=3 et n=5, on peut facilement montrer qu'étant donné les sommes, il n'y a qu'une seule solution en utilisant le fait que la plus grande somme est la somme des plus grands nombres, la 2-ème plus grande du plus grand et du 3-ème plus grand, la plus petite...
Et aussi le fait qu'on ait accès à la somme des nombres en sommant les sommes et en divisant par n-1.

Je ne connais pas la solution. Bonne chance! (je ne sais même pas d'où ça vient, juste que c'est "olympique", et qu'il peut y avoir une astuce du genre un polynôme où un nombre d'équations plus grand qu'un nombre d'inconnues, etc.)
_________________
Le roi de la solution pas claire
(et fausse accessoirement)
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 07 Jan 2008, 22:43    Sujet du message: Répondre en citant

Il s'agit d'entiers, ou au moins de rationnels, j'imagine.

Indication : fonctions génératrices.

Il ne devait pas être dans le poly de combi celui-là?

Pierre, qui lance des rumeurs.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 08 Jan 2008, 0:27    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, tu ne prends pas les a_i+a_i, c'est ça ?
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 08 Jan 2008, 8:22    Sujet du message: Répondre en citant

Si, aussi.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...

MessagePosté le: 08 Jan 2008, 8:26    Sujet du message: Répondre en citant

pierre a écrit:
Si, aussi.
Alors l'exemple est mauvais, je ne vois pas comment on pourrait faire [tex:164e5a6cc8]-1[/tex:164e5a6cc8] avec le premier ensemble...
_________________
« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 08 Jan 2008, 18:20    Sujet du message: Répondre en citant

Ah oui, non en fait....désolé.
De toute façon, si on accepte les $a_i + a_i$, en raisonnant sur les plus grands éléments, on prouve qu'ils sont égaux...

Pierre.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...

MessagePosté le: 08 Jan 2008, 19:55    Sujet du message: Répondre en citant

Tu as un nombre de messages multiple de 11, je te pardonne Smile
Ah, c'est ce que je me disais, merci de confirmer Smile
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