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Exo de ce type
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Auteur Message
strife2
Matheux (se)


Inscrit le: 26 Nov 2006
Messages: 222
Localisation: Maisons-Alfort (94)

MessagePosté le: 15 Jan 2008, 22:32    Sujet du message: Exo de ce type Répondre en citant

Salut, je cherche des exos où il faut résoudre une équation ou un système dans [tex:4c0c3d1332]\mathbb N[/tex:4c0c3d1332] ou dans [tex:4c0c3d1332]\mathbb Z[/tex:4c0c3d1332] en passant au préalable par les complexes.

Exemple (tiré de Soulami) :

Trouver toutes les solutions [tex:4c0c3d1332](x, y, z, t)[/tex:4c0c3d1332] [tex:4c0c3d1332]\in \mathbb Z^4[/tex:4c0c3d1332] du système :

[tex:4c0c3d1332]$\left\{
\begin{array}{l}
xz-2yt=3\\
xt + yz = 1
\end{array}
\right.$
[/tex:4c0c3d1332]
_________________
Ancien de Grésillon.
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Loupiac
Être humain normal


Inscrit le: 17 Jan 2008
Messages: 7
Localisation: Paris

MessagePosté le: 17 Jan 2008, 20:04    Sujet du message: Répondre en citant

Trouver les réels x et y tels que:
(3x) ^0,5 *(1 + 1/(x + y) ) = 2
et
(7y) ^0,5 *(1 - 1/(x + y) ) = 4 * 2^0,5

(Olympiades du Vietnam 1996)
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 17 Jan 2008, 21:14    Sujet du message: Répondre en citant

Tu veux dire :
Citation:
Trouver les réels x et y tels que :
[tex:b4214de026]\sqrt {3 x} (1 + \frac 1 {x + y}) = 2[/tex:b4214de026]
et
[tex:b4214de026]\sqrt {7 y} (1 - \frac 1 {x + y}) = 4 \sqrt 2[/tex:b4214de026]

_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Loupiac
Être humain normal


Inscrit le: 17 Jan 2008
Messages: 7
Localisation: Paris

MessagePosté le: 17 Jan 2008, 21:27    Sujet du message: Répondre en citant

Oui, merci pour la réécriture.
Je me mets au LaTeX tout de suite.
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 17 Jan 2008, 21:59    Sujet du message: Répondre en citant

T'es sûr qu'il y a un "-" dans la deuxième équation ? (s'il y avait un "+", ça m'arrangerait en fait Laughing )
_________________
Union Tinh Võ Đạo de France : http://www.uniontvdfrance.com

Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.
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Loupiac
Être humain normal


Inscrit le: 17 Jan 2008
Messages: 7
Localisation: Paris

MessagePosté le: 17 Jan 2008, 22:06    Sujet du message: Répondre en citant

Oui, c'est un moins.

http://www.kalva.demon.co.uk/vietnam.html
Le premier problème de l'année 96.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
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MessagePosté le: 17 Jan 2008, 22:54    Sujet du message: Répondre en citant

Au fait
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 18 Jan 2008, 1:59    Sujet du message: Répondre en citant

Montrer que : [tex:3f77a9b648]\forall x, y, z \in \mathbb Z, x^3 + y^3 = z^3 \Rightarrow xyz = 0[/tex:3f77a9b648].

Et si c'est trop facile, remplacez 3 par 4 ou 5...
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Cerise
Admin gentil


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Messages: 3323
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MessagePosté le: 18 Jan 2008, 14:31    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Montrer que : [tex:8324cfca97]\forall x, y, z \in \mathbb Z, x^3 + y^3 = z^3 \Rightarrow xyz = 0[/tex:8324cfca97].

Et si c'est trop facile, remplacez 3 par 4 ou 5...

Si c'est encore trop facile, faites-le dans le cas général ([tex:8324cfca97]n \geq 3[/tex:8324cfca97]).
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Twisted Evil Victime vengeresse Twisted Evil

amo ergo sum

Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation.
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strife2
Matheux (se)


Inscrit le: 26 Nov 2006
Messages: 222
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MessagePosté le: 18 Jan 2008, 14:36    Sujet du message: Répondre en citant

Loupiac => Les exercices sont classés par ordre croissant de difficulté aussi au VN ?
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Ancien de Grésillon.
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Loupiac
Être humain normal


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Messages: 7
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MessagePosté le: 18 Jan 2008, 15:07    Sujet du message: Répondre en citant

strife2 a écrit:
Loupiac => Les exercices sont classés par ordre croissant de difficulté aussi au VN ?


Je ne sais pas. La question sur les complexes m'a fait penser à cet exercice venant d'un livre de T. Andreescu. Je peux donner la réponse de T. A.

Amicalement
Loupiac[/img]
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strife2
Matheux (se)


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MessagePosté le: 18 Jan 2008, 19:06    Sujet du message: Répondre en citant

Je le chercherai dès que possible (ce soir j'ai une compo d'histoire à finir et tout le week-end j'ai déménagement) et si je trouve pas je te demanderai la solution.
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Ancien de Grésillon.
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


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Messages: 426

MessagePosté le: 28 Jan 2008, 20:12    Sujet du message: Répondre en citant

Loupiac a écrit:
à cet exercice venant d'un livre de T. Andreescu


Olympiad challenges ?
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Loupiac
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Messages: 7
Localisation: Paris

MessagePosté le: 28 Jan 2008, 21:17    Sujet du message: Répondre en citant

Bonsoir,

C'est bien Olympiad Challenges page 43. Shocked

Cordialement
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 02 Fév 2008, 23:56    Sujet du message: Répondre en citant

On considère l'équation à coefficients réels

[tex:469bc6260e]x^6 + ax^5 + bx^4 + cx^3 + bx^2 + ax + 1 = 0[/tex:469bc6260e]

avec [tex:469bc6260e]x_1[/tex:469bc6260e], ..., [tex:469bc6260e]x_6[/tex:469bc6260e] ses racines. Montrer que : [tex:469bc6260e](x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)...(x_6^2 + 1) = (2a - c)^2[/tex:469bc6260e]
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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Messages: 2176
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MessagePosté le: 03 Fév 2008, 13:30    Sujet du message: Répondre en citant

Il "suffit" de bourriner, pour celle-là... [tex:e5d7c4f911]a=-\sum x, c=-\sum xyz[/tex:e5d7c4f911] (sommes symétriques) etc.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 03 Fév 2008, 14:47    Sujet du message: Répondre en citant

Ouais mais justement, est-ce nécessaire ? :S
Peut-être qu'on pourrait trouver une interprétation géométrique Mr. Green Non, je déconne.
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Loupiac
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Inscrit le: 17 Jan 2008
Messages: 7
Localisation: Paris

MessagePosté le: 04 Fév 2008, 9:23    Sujet du message: Répondre en citant

En vrac:
1) On peut remarquer que le produit des [tex:3e2511fee7] x_i[/tex:3e2511fee7] vaut 1;
2) que si x est solution alors [tex:3e2511fee7]\frac{1}{x}[/tex:3e2511fee7] est aussi solution.
3) Mettre ce produit en facteur dans l'expression proposée.

4) Diviser par [tex:3e2511fee7] x^3 [/tex:3e2511fee7] et poser
[tex:3e2511fee7]y=x+\frac{1}{x}[/tex:3e2511fee7] dans l'équation du début.
5) Le produit des [tex:3e2511fee7]y_i[/tex:3e2511fee7] doit donner la réponse.

Amicalement
Loupiac
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strife2
Matheux (se)


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MessagePosté le: 03 Mar 2008, 16:29    Sujet du message: Répondre en citant

Pourrait-on avoir la solution de ton problème Loupiac ?
_________________
Ancien de Grésillon.


Dernière édition par strife2 le 04 Mar 2008, 0:15; édité 1 fois
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 03 Mar 2008, 20:39    Sujet du message: Répondre en citant

Qui pourrait ?

Mr. Green
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