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a!b!= c!

 
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Auteur Message
jean
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 22 Nov 2005
Messages: 72

MessagePosté le: 29 Fév 2008, 21:04    Sujet du message: a!b!= c! Répondre en citant

Caractériser les solutions de a!b!= c! ?
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K.Borsuk
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 28 Mai 2007
Messages: 22
Localisation: red point

MessagePosté le: 29 Fév 2008, 22:18    Sujet du message: Répondre en citant

Ce problème a été mis sur Mathlinks dans "Number Theory proposed and own problems 27 fevrier
sous le titre: Once more factorials" par Kabor Suk (alias K.Borsuk)
Il ya quelques remarques justes.
Adresse: www.mathlinks.ro
_________________
'tis the last rose of the summer left blooming alone all her lovely companions are faded and gone.
No flower of her kindred, no rosebud is nigh.
To reflect back her blushes or give sigh for sigh!
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 29 Fév 2008, 22:26    Sujet du message: Répondre en citant

Have a look here : http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=191139
_________________
Union Tinh Võ Đạo de France : http://www.uniontvdfrance.com

Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 29 Fév 2008, 22:31    Sujet du message: Répondre en citant

Avec des estimations un peu "bourrines", on doit voir que les solutions non-triviales sont bornées : en effet, en excluant les solutions triviales, i.e. si [tex:2b3e55ee54]a, b, c\geq 2[/tex:2b3e55ee54],
[tex:2b3e55ee54]v_p(n!)=\sum_{r\geq1}\left[\frac n{p^r}\right]\leq\frac n{p-1}[/tex:2b3e55ee54] et [tex:2b3e55ee54]\geq \frac n{p-1}-\log_p n[/tex:2b3e55ee54] (puisqu'il y a au plus [tex:2b3e55ee54]\log_p n[/tex:2b3e55ee54] termes non nuls dans la somme).
On en déduit que pour tout nombre premier [tex:2b3e55ee54]p[/tex:2b3e55ee54], puisque [tex:2b3e55ee54]v_p(a!b!)=v_p(c!)[/tex:2b3e55ee54] on a :
[tex:2b3e55ee54]c\geq a+b-(p-1)\log_p (ab), a+b\geq c-(p-1)\log_p c[/tex:2b3e55ee54]
En particulier, avec [tex:2b3e55ee54]p=2[/tex:2b3e55ee54], on obtient [tex:2b3e55ee54]c+\log_2(ab)\geq a+b\geq c-\log_2c[/tex:2b3e55ee54], d'où [tex:2b3e55ee54]c+\log_2 c\geq a+b\geq c-\log_2 c[/tex:2b3e55ee54]. EDIT : oups non c'est faux ce que je raconte ici...
En fait on a même une meilleure minoration de [tex:2b3e55ee54]a+b[/tex:2b3e55ee54], puisque [tex:2b3e55ee54]\sum_{r\geq1}\left[\frac c{p^r}\right]=\sum_{r\geq1}\left(\left[\frac a{p^r}\right]+\left[\frac b{p^r}\right]\right)\leq\sum_{r\geq1}\left[\frac {a+b}{p^r}\right][/tex:2b3e55ee54] d'où [tex:2b3e55ee54]a+b\geq c[/tex:2b3e55ee54].
Et... zut ça ne marche pas. Un ptit coup de Stirling, peut-être ?

Humph en fait je raconte n'importe quoi, on a une famille de solution non-triviales non bornée [tex:2b3e55ee54](n, n!-1, n!)[/tex:2b3e55ee54]...


Dernière édition par antony le 01 Mar 2008, 13:12; édité 1 fois
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K.Borsuk
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 28 Mai 2007
Messages: 22
Localisation: red point

MessagePosté le: 29 Fév 2008, 23:05    Sujet du message: Répondre en citant

Il est facile de montrer qu'il y a une infinité de solutions pour a,b,c entiers naturels et plus grands que 1.
On peut observer que si n >2, avec n entier,
alors a=n!-1, b=n, c=n! satisfont l'équation.

Ainsi, en particulier pour n=3:
5!3!=6!;

Il y a une autre solution qui n'est pas donné par la formule précédente.
Par exemple:
6!7!=10! Wink
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jean
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 22 Nov 2005
Messages: 72

MessagePosté le: 29 Fév 2008, 23:22    Sujet du message: Répondre en citant

(n, n!-1, n!) certes mais on cherche à caractériser l'ensemble des solutions.

On a la famille des (n, n!-1, n!) mais on a aussi 6!7!=10! : Est-ce tout ? Preuve ?
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...

MessagePosté le: 29 Fév 2008, 23:47    Sujet du message: Répondre en citant

K.Borsuk a écrit:
Ce problème a été mis sur Mathlinks dans "Number Theory proposed and own problems 27 fevrier
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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