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Arithmétique

 
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strife2
Matheux (se)


Inscrit le: 26 Nov 2006
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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 11:11    Sujet du message: Arithmétique Répondre en citant

Salut, comment montrer que :

[tex:2ecdb7a21d]1^{2007} + 2^{2007} + 3^{2007} + ... + 2006^{2007}[/tex:2ecdb7a21d] est divisible par 2007 ?
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Ancien de Grésillon.
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


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Messages: 426

MessagePosté le: 06 Avr 2008, 13:11    Sujet du message: Répondre en citant

En utilisant le fait que pour tout entier [tex:800029343e]d[/tex:800029343e] : [tex:800029343e]d^{2007} + (2007 - d)^{2007}[/tex:800029343e][tex:800029343e]= 2007(d^{2006} - d^{2005}(2007 - d) + ... + (2007 - d)^{2006})[/tex:800029343e]

Tu sommes ces égalités de [tex:800029343e]d = 1[/tex:800029343e] à [tex:800029343e]d = 1003[/tex:800029343e], et tu prouves le résultat désiré.

Au passage, tu peux remplacer 2007 par n'importe quel nombre impair. La démo est analogue à celle ci-dessus.
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Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.


Dernière édition par Guillaume.B le 06 Avr 2008, 15:42; édité 4 fois
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 15:13    Sujet du message: Répondre en citant

Dans le cas 2007 premier, on peut aussi utiliser le théorème de Fermat Mr. Green
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strife2
Matheux (se)


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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 16:01    Sujet du message: Répondre en citant

Guillaume : il sort d'où ce théorème ? Shocked

Sinon avec Fermat ça donne quoi ?
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Ancien de Grésillon.
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 06 Avr 2008, 16:07    Sujet du message: Répondre en citant

Bah, :

[tex:2bf4beed12]a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + ... - ab^{n - 2} + b^{n - 1}) [/tex:2bf4beed12] lorsque [tex:2bf4beed12]n[/tex:2bf4beed12] est impair. Ici [tex:2bf4beed12]a = d[/tex:2bf4beed12] et [tex:2bf4beed12]b = 2007 - d[/tex:2bf4beed12]
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strife2
Matheux (se)


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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 16:08    Sujet du message: Répondre en citant

Ah ouais.

Merci. Very Happy
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Salque
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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 16:22    Sujet du message: Répondre en citant

Avec Fermat, on a pour tout a, a^(2007) = a (mod 2007), d'où il est facile de voir que la somme est nulle modulo 2007... mais attention, ça marche uniquement dans le cas où 2007 est un nombre premier Wink
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Abou
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 16:33    Sujet du message: Répondre en citant

À priori si 2007 est premier, il l'est toujours!


(Désolé)
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 16:33    Sujet du message: Répondre en citant

Il voulait sûrement dire si on remplace 2007 par un nombre premier.
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Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.


Dernière édition par Guillaume.B le 06 Avr 2008, 16:53; édité 1 fois
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Salque
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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 16:49    Sujet du message: Répondre en citant

2+0+0+7 = 9 Wink

(En l'occurrence, 2007 = 3^2 * 223)
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Abou
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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 17:18    Sujet du message: Répondre en citant

J'ai pas dit qu'il était premier hein Razz
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strife2
Matheux (se)


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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 17:38    Sujet du message: Répondre en citant

Ok merci à toi aussi Ilia. Very Happy
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Tom
Matheux (se)


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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 20:42    Sujet du message: Répondre en citant

On utilise ça pour montrer que la somme des n puissances p-ième est divisible par n(n-1)/2. Ou un truc du genre.
D'ailleurs c'est Jill-Jênn qui m'avait filé cet exo. J'avais bien trimé dessus :)
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JJ never dies
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 21:08    Sujet du message: Répondre en citant

Dans le message "Dans le cas 2007 premier, on peut aussi utiliser le théorème de Fermat" et les quelques suivantes, 2007 n'était pas un nom de variable ?
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Abou
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 06 Avr 2008, 22:43    Sujet du message: Répondre en citant

Si si, enfin c'est ce que j'ai compris, d'où ma remarque à prendre dans le sens ironique.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 07 Avr 2008, 2:08    Sujet du message: Répondre en citant

Tom a écrit:
D'ailleurs c'est Jill-Jênn qui m'avait filé cet exo. J'avais bien trimé dessus :)
Ah bon ? Ah ouais peut-être. Mr. Green
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Tom
Matheux (se)


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MessagePosté le: 07 Avr 2008, 8:15    Sujet du message: Répondre en citant

A la fin de l'année dernière. Tu m'as dit que le prof de TS avait donné ça à ses élèves. Ou un truc comme ça.
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JJ never dies
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 07 Avr 2008, 9:25    Sujet du message: Répondre en citant

Oui oui je m'en suis souvenu Smile
Sacré Rousset.
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