Maths et Délires

[Thibaut]

On considère [tex:70ef1a1940]A[/tex:70ef1a1940] une partie dense et d'intérieur vide de [tex:70ef1a1940]\mathbb R[/tex:70ef1a1940], et [tex:70ef1a1940]B = \mathbb R \setminus A[/tex:70ef1a1940], puis [tex:70ef1a1940]X = A \times B \cup B \times A[/tex:70ef1a1940].

[tex:70ef1a1940]X[/tex:70ef1a1940] est-il connexe (éventuellement, discuter selon [tex:70ef1a1940]A[/tex:70ef1a1940]) ?


Un autre exercice de connexité, même s'il n'a rien à voir :

Soit [tex:70ef1a1940]\kappa \leq \lambda[/tex:70ef1a1940] deux cardinaux infinis.
On munit [tex:70ef1a1940]\lambda[/tex:70ef1a1940] de la topologie dont les fermés propres sont les parties de cardinal inférieur ou égal à [tex:70ef1a1940]\kappa[/tex:70ef1a1940].
À quelles conditions sur ces deux cardinaux, l'espace obtenu est connexe ? Connexe par arcs ? Est-il simplement connexe ? Contractile ?
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[Toumaf]

Pour ta deuxième question :

*) connexité : si [tex:78882d11a8]\kappa = \lambda[/tex:78882d11a8], c'est la topologie discrete et l'espace n'est pas connexe. Et si [tex:78882d11a8]\kappa < \lambda[/tex:78882d11a8] on ne peut pas écrire l'espace comme réunion de deux fermés propres, car [tex:78882d11a8]\kappa + \kappa = \kappa < \lambda[/tex:78882d11a8].

Je n'ai pas le temps de regarder le reste, mais ça a l'air rigolo.

[Thibaut]

Oups, mauvaise formulation pour le deuxième énoncé : On munit [tex:9d8e8acd9a]\lambda[/tex:9d8e8acd9a] de la topologie dont les fermés propres sont les parties de cardinal strictement inférieur à [tex:9d8e8acd9a]\kappa[/tex:9d8e8acd9a].
Du coup, on ne trouve la topologie discrète que pour [tex:9d8e8acd9a]\kappa = \lambda^+[/tex:9d8e8acd9a].
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal