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Quelques propriétés d'espaces métriques

 
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 13 Avr 2008, 5:50    Sujet du message: Quelques propriétés d'espaces métriques Répondre en citant

On définit les propriétés suivantes, sur un espace métrique [tex:007ba1d549](E, d)[/tex:007ba1d549] :

- [tex:007ba1d549]P1[/tex:007ba1d549] : [tex:007ba1d549]\forall x, y \in E,[/tex:007ba1d549][tex:007ba1d549] \forall a, b \in \mathbb R_+, a + b = d (x, y) \Rightarrow \exists z \in E, d (x, z) = a \wedge d (z, y) = b[/tex:007ba1d549]
- [tex:007ba1d549]P2[/tex:007ba1d549] : [tex:007ba1d549]\exists M \in \mathbb R, \forall x, y \in E, \forall (a_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathbb R_+^{(\mathbb N)},[/tex:007ba1d549][tex:007ba1d549] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = d (x, y) \Rightarrow \exists (x_n)_{n \in \mathbb N} \in E^{\mathbb N}, \forall n \in \mathbb N, d (x_n, x_{n + 1}) \leq M a_n[/tex:007ba1d549]
- [tex:007ba1d549]P3[/tex:007ba1d549] : [tex:007ba1d549]\exists M \in \mathbb R, \forall x, y \in E, \forall a, b \in \mathbb R_+,[/tex:007ba1d549][tex:007ba1d549] a + b = d (x, y) \Rightarrow \exists z \in E, d (x, z) \leq M a \wedge d (z, y) \leq M b[/tex:007ba1d549]

On a clairement [tex:007ba1d549]P1 \Longrightarrow P2 \Longrightarrow P3[/tex:007ba1d549], et je me demande si la deuxième implication ne serait pas une équivalence (c'est peut-être trivial, mais je ne suis pas en état d'y réfléchir sachant que depuis Lundi, la somme des longueurs des périodes de repos que j'ai prises est majorée par 22 h)

En outre, j'ai vaguement l'impression que [tex:007ba1d549]P1[/tex:007ba1d549] est une propriété uniforme (ie si un espace métrique [tex:007ba1d549]E[/tex:007ba1d549] est [tex:007ba1d549]P1[/tex:007ba1d549], que [tex:007ba1d549]f : E \to E'[/tex:007ba1d549] est une application bi-uniformément continue, alors [tex:007ba1d549]E'[/tex:007ba1d549] est [tex:007ba1d549]P1[/tex:007ba1d549]), et je me demande si ça ne pourrait pas aussi être le cas des deux autres (là encore, c'est peut-être trivial, mais je ne suis pas en état).

Enfin, les parties convexes d'espaces vectoriels normés vérifient [tex:007ba1d549]P1[/tex:007ba1d549]. Je me demande si ça ne serait pas aussi le cas des parties convexes des espaces vectoriels topologiques localement convexes, séparés et métrisables (pour leur structure uniforme (métrisable) si ce sont bien des propriétés uniformes, et sinon pour leurs métriques usuelles).

EDIT de Cerise : il y avait des problèmes dans les formules que je n'ai pas bien réussi à identifier, mais j'ai édité en coupant les formules en deux parties et ça marche maintenant...
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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