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Exercice d'arithmétique sympa
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Auteur Message
Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 17 Avr 2008, 19:54    Sujet du message: Exercice d'arithmétique sympa Répondre en citant

L'entier naturel [tex:beb1ebd662]n[/tex:beb1ebd662] est décomposé en facteurs premiers sous la forme :
[tex:beb1ebd662]n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_s^{\alpha_s}[/tex:beb1ebd662]
Déterminer le nombre de classes modulo [tex:beb1ebd662]n[/tex:beb1ebd662] qui vérifient la congruence [tex:beb1ebd662]x^2 \equiv x [n][/tex:beb1ebd662].

Pour les PTBD, on va remplacer "nombre de classes modulo [tex:beb1ebd662]n[/tex:beb1ebd662]" par "nombre de [tex:beb1ebd662]x[/tex:beb1ebd662] non congrus deux à deux modulo [tex:beb1ebd662]n[/tex:beb1ebd662]".

Au fait, vous saviez que \frac a b ça donnait pareil que \frac{a}{b} ? Je viens de découvrir ça par accident Smile
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Tom
Matheux (se)


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MessagePosté le: 17 Avr 2008, 22:08    Sujet du message: Répondre en citant

Tu as la mémoire courte : http://boumbo.toonywood.org/mathetdelire/forum/viewtopic.php?p=39537&highlight=latex#39537
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 17 Avr 2008, 22:22    Sujet du message: Répondre en citant

Ça va, c'était le lendemain de mon anniversaire, j'avais encore la gueule de bois Mr. Green

Hé, je plaisante les gens, revenez Mr. Green
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Abou
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 18 Avr 2008, 9:21    Sujet du message: Répondre en citant

Qui sont les PTBD?
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 18 Avr 2008, 11:42    Sujet du message: Répondre en citant

Passe Ton Bac D'abord
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 18 Avr 2008, 12:56    Sujet du message: Répondre en citant

Abou, il ne t'intéresse pas, cet exercice ? Smile Oui je sais qu'on a autre chose à faire. Mais passer un peu de temps dessus ne fait pas de mal. Et je posterai ce que je crois être une solution bientôt ^^
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Abou
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 18 Avr 2008, 13:35    Sujet du message: Répondre en citant

Ben c'est que ça m'rappelle 'achement ce que j'ai fait y'a pas si longtemps (dans la semaine), à savoir l'épreuve de Math II des mines 2002.

Bon, j'vais voir ça en mangeant Razz

Édit : ha non en fait ça n'y ressemble pas du tout.
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Djina
Légère tendance aux maths et aux délires


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MessagePosté le: 18 Avr 2008, 18:47    Sujet du message: Répondre en citant

A Jill-Jênn: Je te suis très reconnaissante pour tes explications de hier, mais je ne vois absolument pas en quoi ça peut m'aider à résoudre le problème... Crying or Very sad
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 18 Avr 2008, 20:18    Sujet du message: Répondre en citant

Je pense qu'il est mieux que je donne ma solution, que je t'expliquerai si besoin est. C'est pas un bon premier exercice d'arithmétique Mr. Green (au fait, c'est le tout premier de la planche de Classiques n°2, il est dans la section "Proches du cours" alors que pas du tout xD).

Je la posterai un peu après 23h Smile

Edit (00:17) : Soit [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] une telle classe.
Nécessairement, [tex:872250dc4f]\exists k~|~x^2 = x + k n[/tex:872250dc4f]
[tex:872250dc4f]x(x - 1) = k p_1^{\alpha_1} \ldots p_s^{\alpha_s}[/tex:872250dc4f]
Or [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]x - 1[/tex:872250dc4f] sont premiers entre eux, donc d'après Gauss itéré, [tex:872250dc4f]\forall i,~p_i^{\alpha_i}|x[/tex:872250dc4f] ou [tex:872250dc4f]p_i^{\alpha_i}|x - 1[/tex:872250dc4f].
Donc [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] est de la forme [tex:872250dc4f]k_1 a[/tex:872250dc4f] ([tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f] est le produit des [tex:872250dc4f]p_i^{\alpha_i}[/tex:872250dc4f] qui divisent [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f]) et [tex:872250dc4f]x - 1[/tex:872250dc4f] de la forme [tex:872250dc4f]k_2 b[/tex:872250dc4f] où [tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]b[/tex:872250dc4f] sont premiers entre eux et [tex:872250dc4f]a b = n[/tex:872250dc4f].

Réciproquement, pour tout produit [tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f] de [tex:872250dc4f]p_i^{\alpha_i}[/tex:872250dc4f], si on note [tex:872250dc4f]b = n / a[/tex:872250dc4f], on a bien [tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]b[/tex:872250dc4f] premiers entre eux, donc d'après Bézout il existe [tex:872250dc4f]k_1[/tex:872250dc4f], [tex:872250dc4f]k_2[/tex:872250dc4f] tels que :
[tex:872250dc4f]k_1 a - k_2 b = 1[/tex:872250dc4f]
Donc en prenant [tex:872250dc4f]x = k_1 a[/tex:872250dc4f], on a [tex:872250dc4f]x - 1 = k_2 b[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]x(x - 1) = k_1 k_2 n[/tex:872250dc4f], d'où [tex:872250dc4f]x^2 \equiv x [n][/tex:872250dc4f].

Montrons que les [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] obtenus ne sont pas congrus 2 à 2 modulo [tex:872250dc4f]n[/tex:872250dc4f].
Pour ce faire, supposons par l'absurde qu'[tex:872250dc4f]\exists x, x'~|~x \equiv x' [n]~(1)[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]\exists p_i~|~p_i | x[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]p_i \not | x'[/tex:872250dc4f].
[tex:872250dc4f](1) \Leftrightarrow p_i | x - x'[/tex:872250dc4f], donc comme [tex:872250dc4f]p_i | x[/tex:872250dc4f], on a [tex:872250dc4f]p_i | x'[/tex:872250dc4f], contradiction.

Finalement, il y a autant de [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] qui conviennent que de parties de [tex:872250dc4f]\{1, \ldots, s\}[/tex:872250dc4f] (chaque partie représente les indices des nombres premiers choisis dans la décomposition en facteurs premiers de [tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f]), c'est-à-dire [tex:872250dc4f]\fbox{$2^s$}[/tex:872250dc4f].
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 19 Avr 2008, 21:54    Sujet du message: Répondre en citant

Coucou, c'est juste pour dire que j'ai posté la solution xD Mais comme j'ai édité, vous n'avez peut-être pas vu ^^
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Abou
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 1:01    Sujet du message: Répondre en citant

Ha oui j'avais pas vu.

Y'a pas à dire, l'arithmétique c'est vraiment pas mon truc. (J'étais partis archi loin, sans rien de convainquant).
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 2:18    Sujet du message: Répondre en citant

convaincant*
Il n'était pas convaincant, mais de toute façon, en le convainquant, il n'arriverait pas à obtenir ce qu'il désirait ^^
Il y a l'adjectif et le participe ^^

Est-ce que tu as compris la démo ? Razz
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Tom
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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 9:12    Sujet du message: Répondre en citant

Jill-Jênn, tu devrais pas être en train de dormir à cette heure ci ?? N'oublie pas que c'est rdv à 7h30 mercredi pour les Mines :p
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JJ never dies
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 9:49    Sujet du message: Répondre en citant

Dormir à 9h12 ? Nonon, j'étais réveillé Smile (Mr. Green)
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Abou
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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 9:59    Sujet du message: Répondre en citant

Nan j'ai pas compris, déjà dès le début je suis largué :

Jill-Jênn a écrit:
Je la posterai un peu après 23h Smile

Edit (00:17) : Soit x une telle classe.


1h17 = "un peu après"? Quelle référence de temps as-tu pris? (Par exemple sur 4h 1h17 ça comme à faire beaucoup Razz)


Plus sérieusement j'ai pas suivis comment tu montres que les [tex:816e56f5f8]x[/tex:816e56f5f8] obtenus ne sont pas congrus modulo [tex:816e56f5f8]n[/tex:816e56f5f8].
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 11:40    Sujet du message: Répondre en citant

Disons que c'était un peu long à taper Mr. Green

Ah le reste t'as suivi ? Cool !
T'es d'accord que créer un [tex:8d3341fb55]x[/tex:8d3341fb55], ça revient à prendre une partie de [tex:8d3341fb55]\{1, \ldots, s\}[/tex:8d3341fb55]. Eh bien si on prend deux [tex:8d3341fb55]x[/tex:8d3341fb55] différents, ils sont associés à deux parties différentes. Donc il en existe un qui a en facteur un [tex:8d3341fb55]p_i^{\alpha_i}[/tex:8d3341fb55] (donc [tex:8d3341fb55]p_i[/tex:8d3341fb55]) que l'autre n'a pas.
Si on suppose que ces deux [tex:8d3341fb55]x[/tex:8d3341fb55] sont congrus modulo [tex:8d3341fb55]n[/tex:8d3341fb55], on aboutit à une contradiction.
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Abou
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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 11:43    Sujet du message: Répondre en citant

Ha oui je vois, merci =)
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Cerise
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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 18:19    Sujet du message: Répondre en citant

Jill-Jênn a écrit:
Dormir à 9h12 ?

8h12. Règle ton compte à l'heure d'été Wink
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amo ergo sum

Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation.
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 21:21    Sujet du message: Répondre en citant

Cerise a écrit:
Jill-Jênn a écrit:
Dormir à 9h12 ?

8h12. Règle ton compte à l'heure d'été Wink
Bin l'heure d'été, c'est bien GMT + 2 non ? Alors j'y suis ^^
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Overlord
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MessagePosté le: 20 Avr 2008, 23:19    Sujet du message: Répondre en citant

Cherry, a priori, quand on passe à l'heure d'été, on avance l'horloge...
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Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait.

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Mais 10 d'entre eux ont VRAIMENT besoin de lâcher leur ordi...
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