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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 22 Avr 2008, 20:49    Sujet du message: Composantes connexes Répondre en citant

On vient de commencer un cours intitulé Groupe fondamental, revêtements et théorie des nœuds à l'X, je suis assez content parce que ça faisait longtemps que je ne m'étais plus fait autant plaisir en faisant des maths... (en particulier le cours de mathématiques appliqués sur l'analyse numérique est juste atroce) Bref, du coup je recommence à me poser des "vraies" questions mathématiques :)
Typiquement, la dernière (et première) fois on avait un exo qui consistait à dénombrer les composantes connexes par arcs de divers groupes de matrices (GLn(R), GLn(C), SLn(R), SLn(C) On, Un, SOn, SUn, etc), ce qui n'est pas forcément très compliqué en soi avec des arguments de réduction de matrices ; mais j'aurais voulu savoir si il y avait d'autres moyens que de passer par la réduction (typiquement parce que pour le groupe de Lorentz je ne connais pas de réduction et donc je ne sais plus dénombrer les composantes connexes par arcs).
Merci !
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 22 Avr 2008, 21:43    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, pour montrer que [tex:9178c6b983]SL_n (\mathbb R)[/tex:9178c6b983] et [tex:9178c6b983]SL_n (\mathbb C)[/tex:9178c6b983] sont connexes par arcs, je ne sais pas faire autrement qu'en montrant que les transvections de [tex:9178c6b983]SL_n (K)[/tex:9178c6b983] engendrent [tex:9178c6b983]SL_n (K)[/tex:9178c6b983]. De même, pour montrer que [tex:9178c6b983]SO_n (\mathbb R)[/tex:9178c6b983], [tex:9178c6b983]SU_n (\mathbb C)[/tex:9178c6b983] sont connexes par arcs, je ne sais pas faire autrement que par des arguments de réduction.
Après, pour passer de [tex:9178c6b983]SO_n (\mathbb R)[/tex:9178c6b983] à [tex:9178c6b983]O_n (\mathbb R)[/tex:9178c6b983], de [tex:9178c6b983]SU_n (\mathbb C)[/tex:9178c6b983] à [tex:9178c6b983]U_n (\mathbb C)[/tex:9178c6b983], de [tex:9178c6b983]SL_n (\mathbb R)[/tex:9178c6b983] à [tex:9178c6b983]PSL_n (\mathbb R)[/tex:9178c6b983], [tex:9178c6b983]GL_n (\mathbb R)[/tex:9178c6b983] et [tex:9178c6b983]PGL_n (\mathbb R)[/tex:9178c6b983] et de [tex:9178c6b983]SL_n (\mathbb C)[/tex:9178c6b983] à [tex:9178c6b983]PSL_n (\mathbb C)[/tex:9178c6b983], [tex:9178c6b983]GL_n (\mathbb C)[/tex:9178c6b983] et [tex:9178c6b983]PGL_n (\mathbb C)[/tex:9178c6b983], c'est essentiellement trivial.

Quant au groupe de Lorentz, c'est quoi ?
C'est [tex:9178c6b983]SO_{3, 1} (\mathbb R) = SO (\mathbb R^4, \phi)[/tex:9178c6b983] où [tex:9178c6b983]\phi : \begin {matrix} \mathbb R^4 & \to & \mathbb R \\ (x, y, z, t) & \mapsto & x^2 + y^2 + z^2 - t^2 \end {matrix}[/tex:9178c6b983] ?
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 22 Avr 2008, 22:46    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
Typiquement, la dernière (et première) fois on avait un exo qui consistait à dénombrer les composantes connexes par arcs de divers groupes de matrices (GLn(R), GLn(C), SLn(R), SLn(C) On, Un, SOn, SUn, etc)


C'est pas au programme de Spé, ça ?
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antony
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MessagePosté le: 22 Avr 2008, 23:25    Sujet du message: Répondre en citant

Si, je l'ai même eu en colle (sans les groupes de matrices complexes), mais c'est juste le premier cours (et c'est sans doute mieux de parler un peu de pi'0 et pi0 avant de parler de pi1...) et surtout je me demandais si il y avait un moyen de le faire plus conceptuellement, typiquement pour pouvoir faire aussi le groupe de Lorentz, qui est O(3,1).
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 0:11    Sujet du message: Répondre en citant

Tu peux facilement montrer que [tex:24e087ccd7]SO_{3, 1} (\mathbb R)[/tex:24e087ccd7] et son complémentaire forment une partition de [tex:24e087ccd7]O_{3, 1} (\mathbb R)[/tex:24e087ccd7] en deux ouverts-fermés homéomorphes.

Après, pour étudier la connexité de [tex:24e087ccd7]SO_{3, 1} (\mathbb R)[/tex:24e087ccd7], je te suggère de poser [tex:24e087ccd7]\phi : \begin {matrix} \mathbb R^4 & \to & \mathbb R \\ (x, y, z, t) & \mapsto & x^2 + y^2 + z^2 - t^2 \end {matrix}[/tex:24e087ccd7], puis [tex:24e087ccd7]A_1 = \phi^{\langle -1 \rangle} \left< \{ 1 \} \right>[/tex:24e087ccd7] et [tex:24e087ccd7]A_{-1} = \phi^{\langle -1 \rangle} \left< \{ -1 \} \right>[/tex:24e087ccd7].

Il s'agit d'étudier la connexité de [tex:24e087ccd7]A_1[/tex:24e087ccd7] et [tex:24e087ccd7]A_{-1}[/tex:24e087ccd7], puis de regarder l'action des éléments de [tex:24e087ccd7]SO (\mathbb R^4, \phi)[/tex:24e087ccd7] sur l'ensemble des composantes connexes de chacun.

Sauf erreur de ma part, [tex:24e087ccd7]A_1[/tex:24e087ccd7] est connexe, donc rien à dire dessus, tandis que [tex:24e087ccd7]A_{-1}[/tex:24e087ccd7] a deux composantes connexes (celle contenue dans le demi-espace [tex:24e087ccd7]\[ (x, y, z, t) \in \mathbb R^4, t > 0 \}[/tex:24e087ccd7] et celle contenue dans le demi-espace [tex:24e087ccd7]\{ (x, y, z, t) \in \mathbb R^4, t < 0 \}[/tex:24e087ccd7]).
On vérifie qu'il y a dans [tex:24e087ccd7]SO (\mathbb R^4, \phi)[/tex:24e087ccd7] des éléments qui préservent chaque composante connexe, et des éléments qui les échangent (par exemple : [tex:24e087ccd7]f : \begin {matrix} \mathbb R^4 & \to & \mathbb R^4 \\ (x, y, z, t) & \mapsto & (x, y, -z, -t) \end {matrix}[/tex:24e087ccd7]).

Ceci forme une partition de [tex:24e087ccd7]SO (\mathbb R^4, \phi)[/tex:24e087ccd7] en deux ouverts-fermés disjoints. Au passage, la composition par [tex:24e087ccd7]f[/tex:24e087ccd7] introduite ci-dessus doit être un homéomorphisme entre les deux morceaux ainsi dégagés.
Il reste à montrer que la composante qui contient l'identité (par exemple), est connexe, et ça, je ne sais pas faire...
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Cerise
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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 8:37    Sujet du message: Re: Composantes connexes Répondre en citant

antony a écrit:
(en particulier le cours de mathématiques appliqués sur l'analyse numérique est juste atroce)

Heureusement que je me suis pas retrouvée à l'X, moi, finalement...
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Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation.
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Thibaut
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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 8:44    Sujet du message: Re: Composantes connexes Répondre en citant

Cerise a écrit:
Heureusement que je me suis pas retrouvée à l'X, moi, finalement...
Heureusement que je ne me suis pas retrouvé à l'X, moi, de base... (Parce que j'ai comme l'impression que c'est loin d'être le seul truc qui m'aurait fait suer...)
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antony
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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 10:05    Sujet du message: Répondre en citant

Bah pourtant y'a plein de trucs chouettes comme le cours de MécaQ et Phystat ou les modules expérimentaux (c'est pas donné à tout le monde de faire joujou avec un laser de 10MW et un plasma à 10000K) ;)
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Igor
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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 10:37    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:
Bah pourtant y'a plein de trucs chouettes comme le cours de MécaQ et Phystat ou les modules expérimentaux (c'est pas donné à tout le monde de faire joujou avec un laser de 10MW et un plasma à 10000K) ;)


Oué, mais bon, y a ça à l'ENS aussi Wink.

Igor, qui dit ça, mais qui n'a rien contre l'X, hein.
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antony
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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 12:55    Sujet du message: Répondre en citant

Tiens, comment ça se passe pour toi à l'ENS d'ailleurs ? J'ai croisé Marguerite au Big Band lundi dernier : chouette, une flûte de plus... on va peut-être finir (ou pas) par se faire entendre à côté des sax et des trompettes Wink
Sinon, y'a aussi un cours de chimie pour les nuls qui est trop bien !
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Igor
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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 13:13    Sujet du message: Répondre en citant

Cf ma réponse en MP.
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Salque
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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 17:26    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:
Tiens, comment ça se passe pour toi à l'ENS d'ailleurs ? J'ai croisé Marguerite au Big Band lundi dernier : chouette, une flûte de plus... on va peut-être finir (ou pas) par se faire entendre à côté des sax et des trompettes Wink

Ah, tu fais de la flûte ?

Citation:
Sinon, y'a aussi un cours de chimie pour les nuls qui est trop bien !

...
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antony
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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 18:23    Sujet du message: Répondre en citant

Salque a écrit:
antony a écrit:
Tiens, comment ça se passe pour toi à l'ENS d'ailleurs ? J'ai croisé Marguerite au Big Band lundi dernier : chouette, une flûte de plus... on va peut-être finir (ou pas) par se faire entendre à côté des sax et des trompettes Wink

Ah, tu fais de la flûte ?
Oui, un peu.

Salque a écrit:
Citation:
Sinon, y'a aussi un cours de chimie pour les nuls qui est trop bien !

...
Si, si, j'insiste, c'est l'un des meilleurs cours que j'ai eu a l'X ! Le prof est juste genial et te fait comprendre pourquoi la chimie peut etre vraiment passionante !
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 23 Avr 2008, 19:55    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Quant au groupe de Lorentz, c'est quoi ?
C'est marrant, il y avait un petit passage de Maths I ce matin (hoho "ce Maths I") sur ça.

C'est marrant parce que tu dis juste presque toujours juste, antony Wink
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Thibaut
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MessagePosté le: 25 Avr 2008, 2:17    Sujet du message: Répondre en citant

À propos de composantes connexes :

Soit [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] un espace topologique.
On définit, pour [tex:1da4e87861]x \in E[/tex:1da4e87861], [tex:1da4e87861]C_E (x)[/tex:1da4e87861] la composante connexe de [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861], et [tex:1da4e87861]Q_E (x)[/tex:1da4e87861] la quasi-composante connexe de [tex:1da4e87861]x[/tex:1da4e87861] dans [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] comme étant l'intersection des ouverts-fermés de [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] contenant [tex:1da4e87861]x[/tex:1da4e87861].

Montrer que :
1) [tex:1da4e87861]\forall x, y \in E, Q_E (x) \cap Q_E (y) \neq \emptyset \Leftrightarrow Q_E (x) = Q_E (y)[/tex:1da4e87861].
2) [tex:1da4e87861]\forall x \in E, C_E (x) \subseteq Q_E (x)[/tex:1da4e87861].
3) [tex:1da4e87861]\forall F \subseteq E, \forall x \in F, Q_F (x) \subseteq Q_E (x) \cap F[/tex:1da4e87861]. Quand peut-on espérer avoir des égalités ?
4) [tex:1da4e87861]\forall x \in E, Q_E (x) \text { est un ferm\'e de $E$}[/tex:1da4e87861]
5) si [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] est compact, alors [tex:1da4e87861]\forall x \in E, Q_E (x) = C_E (x)[/tex:1da4e87861]
6) si [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] est localement connexe, alors [tex:1da4e87861]\forall x \in E, Q_E (x) = C_E (x)[/tex:1da4e87861]

7) Trouver un exemple d'espace [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] et de point [tex:1da4e87861]x \in E[/tex:1da4e87861] tel que [tex:1da4e87861]C_E (x) \subsetneq Q_E (x)[/tex:1da4e87861].

À présent, on suppose que [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] est un espace métrique.
On définit, pour [tex:1da4e87861]x \in E[/tex:1da4e87861], [tex:1da4e87861]\Gamma_E (x)[/tex:1da4e87861] la composante bien-enchaînée de [tex:1da4e87861]x[/tex:1da4e87861], qui est l'ensemble des [tex:1da4e87861]y \in E[/tex:1da4e87861] tels que, pour tout [tex:1da4e87861]\varepsilon > 0[/tex:1da4e87861], il existe une [tex:1da4e87861]\varepsilon[/tex:1da4e87861]-chaîne dans [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] entre [tex:1da4e87861]x[/tex:1da4e87861] et [tex:1da4e87861]y[/tex:1da4e87861] (ie une suite finie [tex:1da4e87861]x = z_0, \ldots, z_n = y[/tex:1da4e87861] dans [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] telle que [tex:1da4e87861]\forall k < n, d (z_k, z_{k+1}) < \varepsilon[/tex:1da4e87861]).
8) Montrer que : [tex:1da4e87861]\forall x \in E, Q_E (x) \subseteq \Gamma_E (x)[/tex:1da4e87861].
9) Montrer que, si [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] est compact, on a égalité (avec le 5, cela donne : [tex:1da4e87861]\forall x \in E, C_E (x) = Q_E (x) = \Gamma_E (x)[/tex:1da4e87861])
10) Trouver un exemple d'espace [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861], et de point [tex:1da4e87861]x \in E[/tex:1da4e87861] tel que :
a) [tex:1da4e87861]C_E (x) \subsetneq Q_E (x) = \Gamma_E (x)[/tex:1da4e87861]
b) [tex:1da4e87861]C_E (x) = Q_E (x) \subsetneq \Gamma_E (x)[/tex:1da4e87861]
c) [tex:1da4e87861]C_E (x) = Q_E (x) = \Gamma_E (x)[/tex:1da4e87861]
d) [tex:1da4e87861]C_E (x) \subsetneq Q_E (x) \subsetneq \Gamma_E (x)[/tex:1da4e87861]

11) Maintenant, [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] est un espace topologique métrisable. On pose [tex:1da4e87861]\Delta[/tex:1da4e87861] l'ensemble des distances sur [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] qui métrisent sa topologie. Pour [tex:1da4e87861]d \in \Delta[/tex:1da4e87861] on notera [tex:1da4e87861]\Gamma_{E, d}[/tex:1da4e87861] les composantes bien-enchaînées de [tex:1da4e87861]E[/tex:1da4e87861] pour [tex:1da4e87861]d[/tex:1da4e87861]. On posera en outre, pour [tex:1da4e87861]x \in E[/tex:1da4e87861], [tex:1da4e87861]\Gamma_E (x) = \bigcap_{d \in \Delta} \Gamma_{E, d} (x)[/tex:1da4e87861].
A-t-on : [tex:1da4e87861]\forall x \in E, Q_E (x) = \Gamma_E (x)[/tex:1da4e87861] ?
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