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Compacts métrisables

 
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Auteur Message
popolux
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 23 Déc 2006
Messages: 87

MessagePosté le: 27 Avr 2008, 17:07    Sujet du message: Compacts métrisables Répondre en citant

Petite question de topo que je me posais: Si on a un espace topologique compact X tel que de toutes suite,on peut extraire une sous suite convergeante,est ce que X est métrisable?
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 3271
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MessagePosté le: 27 Avr 2008, 19:11    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
un espace topologique compact X tel que de toutes suite,on peut extraire une sous suite convergeante

Tu viens pas de dire deux fois la meme chose ?
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popolux
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Inscrit le: 23 Déc 2006
Messages: 87

MessagePosté le: 27 Avr 2008, 20:03    Sujet du message: Répondre en citant

C est dans le cas d un espace métrique que compact équivaut a la propiété des sous suites convergente.Sinon,compact veut juste dire que de tout recouvrement d ouverts on peut extraire un recouvrement fini.

Exemple:On peut montrer que [tex:780431e119]X=[0,1]^{[0,1]}[/tex:780431e119] est compact(Théoreme de Tychonov:un produit de compacts est compact).X s identifie a l ensemble des fonctions de [0,1] dans [0,1],la convergence dans X correspondant a la convergence simple de fonctions. Or si on prend [tex:780431e119]f_n:[0,1] \rightarrow [0,1][/tex:780431e119] qui a x associe la n-ieme décimale de x dans son développement binaire,on montre assez facilement que f_n n a pas de sous suite qui converge simplement. donc X n a pas la propriété des sous suites(et donc en particulier X n est pas métrisable)
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Igor
Taupin(e) ou équivalent


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Messages: 697
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MessagePosté le: 27 Avr 2008, 20:14    Sujet du message: Répondre en citant

Si je ne m'abuse:

soit [tex:e66c1928ac]E[/tex:e66c1928ac] un espace de Banach réflexif non séparable. Alors:
- Sa boule unité [tex:e66c1928ac]B_E[/tex:e66c1928ac] est compacte pour la topologie faible [tex:e66c1928ac]\sigma(E,E')[/tex:e66c1928ac]. En effet, d'après le théorème de Banach-Alaoglu(-Bourbaki), [tex:e66c1928ac]B_{E''}[/tex:e66c1928ac] est compacte pour la topologie [tex:e66c1928ac]*-\sigma(E'',E')[/tex:e66c1928ac].
- D'après le théorème d'Eberlein-Smulian, [tex:e66c1928ac]B_E[/tex:e66c1928ac] est aussi séquentiellement compacte pour la topologie faible [tex:e66c1928ac]\sigma(E,E')[/tex:e66c1928ac].
- Si [tex:e66c1928ac]B_E[/tex:e66c1928ac] était métrisable, [tex:e66c1928ac]E'[/tex:e66c1928ac] serait séparable, donc [tex:e66c1928ac]E[/tex:e66c1928ac] aussi, absurde.
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popolux
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Messages: 87

MessagePosté le: 27 Avr 2008, 20:34    Sujet du message: Répondre en citant

Effectivement,je ne connaissais pas ce théoreme,merci Igor(en plus c est un théoreme interessant)..Bon je sentais bien quand meme qu il y aurait des contre exemples,donc maintenant ma question est:est c e que c est juste si X est séparable(promis,je ne rajouterai pas d autres hypotheses si vous me trouvez un autre contre exemple lol)
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 28 Avr 2008, 3:55    Sujet du message: Répondre en citant

Igor a écrit:
soit [tex:340020ee9f]E[/tex:340020ee9f] un espace de Banach réflexif non séparable

Il te reste à prouver l'existence d'une telle chose (je n'en doute pas un instant, mais je dois avouer que je ne crois pas en connaître un seul).

Sinon, un autre exemple d'espace compact et séquentiellement compact non métrisable : [tex:340020ee9f]\omega_1 + 1 = [[0, \omega_1]][/tex:340020ee9f] muni de la topologie de l'ordre. Comme tout ordinal non dénombrable, il n'est pas métrisable (car [tex:340020ee9f]\omega_1[/tex:340020ee9f] n'a pas de base dénombrable de voisinages).
Comme tout ordinal successeur, il est compact.
Comme tout ordinal qui n'est pas de cofinalité [tex:340020ee9f]\omega[/tex:340020ee9f], il est séquentiellement compact.
Par contre, il n'est toujours pas séparable.

Euh, pour autant que je me souvienne, un espace compact est métrisable si et seulement s'il est séparable. Donc tu as ta réponse.
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popolux
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Messages: 87

MessagePosté le: 28 Avr 2008, 7:09    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Euh, pour autant que je me souvienne, un espace compact est métrisable si et seulement s'il est séparable. Donc tu as ta réponse.

L equivalence dont je me souviens,c était plutot K métrisable si et seulement si C(K) est séparable.Cela dit j ai pas d exemples de compacts séparable non métrisables,donc je sais pas trop.Je cheche..

Thibaut a écrit:
Igor a écrit:
soit [tex:b9ce4e85e3]E[/tex:b9ce4e85e3] un espace de Banach réflexif non séparable

Il te reste à prouver l'existence d'une telle chose (je n'en doute pas un instant, mais je dois avouer que je ne crois pas en connaître un seul).


Le plus simple c'est de prendre l espace [tex:b9ce4e85e3]l^2(I)[/tex:b9ce4e85e3] des suites indexées par I de carrés sommables,avec I indénombrable.C est alors meme un Hilbert^^
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