Maths et Délires

[popolux]

Bonjour, cette question s'adresse à ceux qui s'y connaissent en géo diff ou géo- algébrique ce qui n'est pas DU TOUT mon cas.

Etant donnée une fonction lipshitzienne de R dans R, on sait d'après rademacher qu'elle est dérivable presque partout. Existe -t-il une version du lemme de sard ?

A savoir : D = { x | f'(x) =0} , a-t-on : mesure de lebesgue (f(D))=0.

Je ne souhaite pas de démonstration particulièrement mais je voudrais juste savoir si le résultat est vrai, car j'en ai besoin dans une preuve et je n'ai rien trouvé dans la littérature (que je connais mal dans le domaine).

Merci de me dépanner
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Beuh??? Jvois vraiment pas

[Jill-Jênn]

[CP_Nicolarf]

[Abou]

Il avait qu'a en avoir un plus simple! =) (Gauss ou Cauchy, c'est mieux déjà! =o)

[henri]

bon, à part le fait que je ne vois pas trop le rapport avec la géométrie algébrique (...) j'émets des réserves quant à la validité d'un tel énoncé. Dans le théorème de Sard, on utilise vraiment la continuité de f' pour des histoires de majoration uniforme. Bref, ce n'est absolument pas suffisant pour trancher, mais j'ai pas trop envie de chercher de contre-exemple en fait...
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]

[popolux]

Je crois avoir réussi à montrer que c'est vrai, sauf erreur de ma part:


Soit f lipsChitzienne de [a,b] dans [a,b] de constante de lipschitz K :

(f est dérivable p.p)


Soit [tex:44906e06ba]A=\{x|f'(x)=0\}[/tex:44906e06ba], soit [tex:44906e06ba]\epsilon >0[/tex:44906e06ba], la mesure de lebesgue est extérieurement régulière donc il existe [tex:44906e06ba]]a_i,b_i[[/tex:44906e06ba] tel que :

[tex:44906e06ba]A \subset \bigcup_{i=1}^{n} ]a_i,b_i[[/tex:44906e06ba] et [tex:44906e06ba]\lambda(A)+\epsilon \geq \sum_{i=1}^n (b_i-a_i)[/tex:44906e06ba]
par le théorème de rademacher on a [tex:44906e06ba]\forall (x,y) \in R^2 \, : f(x)-f(y)=\int_{x}^{y}f'(s)ds=\int_{A^C \cap ]x,y[}f'(s) ds[/tex:44906e06ba]
Il vient :

[tex:44906e06ba] \sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)| \leq \sum_{i=1}^n |\int_{A^C \cap ]x_i,y_i[}f'(s)ds |[/tex:44906e06ba] [tex:44906e06ba]\leq K \lambda (A^C \cap \bigcup_{i=1}^n ]a_i,b_i[)\leq \epsilon[/tex:44906e06ba]

Soit [tex:44906e06ba] z \in f(A)[/tex:44906e06ba] alors z=f(a) avec [tex:44906e06ba]a \in A[/tex:44906e06ba] alors [tex:44906e06ba] a \in [a_i,b_i] [/tex:44906e06ba] (pour un certain i) et de même

[tex:44906e06ba]|f(a_i)-f(a)| \leq |\int_{A^C \cap [a_i,a]}f'(s)ds|\leq K \lambda(A^C\cap [a_i,a])[/tex:44906e06ba][tex:44906e06ba]\leq K\lambda(A^C \cap \bigcup_{i=1}^n]a_i,b_i[)\leq K \epsilon[/tex:44906e06ba]

On en conclut donc [tex:44906e06ba]f(A) \subset \bigcup_{i=1}^n (f(a_i),f(b_i)) + [-K \epsilon,K \epsilon][/tex:44906e06ba]
On a utilisé la notation [tex:44906e06ba]A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}[/tex:44906e06ba]

Il ne reste plus qu'à faire tendre epsilon vers 0.


Ps : la preuve est ptet fausse... Mais bon, le résultat peut être vrai quand même!
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Beuh??? Jvois vraiment pas

[popolux]

Je m'en suis rendu compte en postant c'est faux :


[tex:277003bccd]Q +[-\epsilon,\epsilon]=R[/tex:277003bccd] pourtant Q est de mesure nulle... L'argument de faire tendre epsilon vers 0 marche pas, je vais chercher encore
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Beuh??? Jvois vraiment pas

[popolux]

Finalement je crois avoir montré que c'est vrai :


On prend le meme recouvrement de A à epsilon près:
[tex:ff658e15e5]f(A) \subset \bigcup f([a_i,b_i])[/tex:ff658e15e5]

Or par le tvi: (l'image d'un segment par f lipschitz donc continue est un segment)

[tex:ff658e15e5]f([a_i,b_i])=[m_i,M_i][/tex:ff658e15e5] avec [tex:ff658e15e5]m_i = f(x_i)[/tex:ff658e15e5] et [tex:ff658e15e5]M_i=f(y_i)[/tex:ff658e15e5]

ainsi [tex:ff658e15e5]\lambda(f([a_i,b_i]))=(M_i-m_i)=\int_{[x_i,y_i] \setminus A}f'(s)ds[/tex:ff658e15e5]

Donc par sigma sous addivité on récupère : [tex:ff658e15e5]\lambda(f(A)) \leq \sum_{i=1}^n \lambda (f([a_i,b_i]))[/tex:ff658e15e5] [tex:ff658e15e5]\leq\sum_{i=1}^n (f(y_i)-f(x_i)) \leq K \sum_{i=1}^n \lambda([x_i,y_i] \setminus A)[/tex:ff658e15e5]
Donc comme [tex:ff658e15e5][x_i,y_i] \subset [a_i,b_i][/tex:ff658e15e5] on a bien [tex:ff658e15e5]\lambda(f(A)) \leq \epsilon[/tex:ff658e15e5]
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[Thibaut]

Euh, tout à l'heure tu disais que ton recouvrement de [tex:02f4dff2fb]A[/tex:02f4dff2fb] était fini... Je suppose qu'il est en fait dénombrable (va recouvrir [tex:02f4dff2fb]\mathbb Z[/tex:02f4dff2fb], pourtant nulle part dense et de mesure nulle, bref ridiculement petit, avec une union finie de segments...)
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[henri]

ça m'étonnait qu'on puisse démontrer si simplement le théorème de Sard, mais en fait ce n'est qu'un variante du cas facile de ce théorème vu que f va de R dans R, et n'est plus une fonction définie sur un ouvert de R^n dans R^m.
Donc mes doutes précédents n'ont plus lieu d'être...
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]

[popolux]

a thibaut : oui c'est dénombrable car les composantes connexes d'un ouvert sont dénombrables.

a henri: oui ça ne pouvait se généraliser que de R^n dans R^n, j'aurai moi même eu des doutes dans le cas général.

a moi meme:Je suis une Tafioooooole!

Par contre de R dans R c'est aussi vrai pour f dérivable je crois et c'est beaucoup plus dur.
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