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Caracterisation des espaces compacts

 
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Auteur Message
popolux
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 23 Déc 2006
Messages: 87

MessagePosté le: 23 Mai 2008, 1:48    Sujet du message: Caracterisation des espaces compacts Répondre en citant

Encore un delire topologique que je me suis posé:
Soit X un espace topologique(pas spécialement métrique,mais disons séparé).Y a t il équivalence entre:
-X est compact
-X est fermé dans tout espace topologique le contenant
Merci^^
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Igor
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Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 697
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MessagePosté le: 23 Mai 2008, 9:39    Sujet du message: Répondre en citant

La deuxième condition ne serait-elle pas plutôt:
-X est fermé dans tout espace topologique compact le contenant ?
Dans ce cas, oui (la condition de séparation est essentielle).
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 23 Mai 2008, 11:26    Sujet du message: Répondre en citant

Je te suggère de regarder cette discussion.

Il me semble y avoir montré que le seul espace qui soit fermé dans tous les espaces qui le contiennent, c'est l'espace vide.

En outre, en utilisant la compactification de Stone-Cech, on montre que les espaces qui sont fermés dans tous les espaces [tex:cc0b14dc06]\mathrm T_{3 frac 1 2}[/tex:cc0b14dc06] (alias Tychonoff ou complètement réguliers) sont les espaces compacts.

Les compacts sont fermés dans tous les espaces séparés ([tex:cc0b14dc06]\mathrm T_2[/tex:cc0b14dc06]), et d'après ce qui précède, s'il y en a d'autres, alors ils ne sont pas complètement réguliers.
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Cerise
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Messages: 3323
Localisation: Rennes

MessagePosté le: 23 Mai 2008, 11:53    Sujet du message: Répondre en citant

Igor a écrit:
La deuxième condition ne serait-elle pas plutôt:
-X est fermé dans tout espace topologique compact le contenant ?
Dans ce cas, oui (la condition de séparation est essentielle).

Est-ce que tout espace séparé (T2) peut être inclus dans un espace compact ?
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
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MessagePosté le: 23 Mai 2008, 13:10    Sujet du message: Répondre en citant

Dans un espace quasi-compact, oui.
Preuve : ajouter un point dont le seul voisinage est l'espace tout entier.

Dans un honnête compact séparé, non.

Preuve : Un espace compact (séparé) est normal ([tex:29fcc6f7a9]\mathrm T_4[/tex:29fcc6f7a9]). Donc par lemme d'Urysohn, il est complètement régulier ([tex:29fcc6f7a9]\mathrm T_{3 \frac 1 2}[/tex:29fcc6f7a9]). Or, cette propriété est héréditaire (me semble-t-il et Wikipédia confirme), donc tout sous espace d'un compact est complètement régulier.
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popolux
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Inscrit le: 23 Déc 2006
Messages: 87

MessagePosté le: 23 Mai 2008, 13:59    Sujet du message: Répondre en citant

Ah effectivement tu t étais deja posé la question apparament^^.Oui j ai précisé que X est séparé mais j ai oublié de dire que Y aussi devait l etre.
J ai pensé moi aussi au compactifié de Stone Cech dans le cas ou X est normal.Par contre pour le cas général,tout reste a faire et on dispose de peu d outils j ai l impression^^
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