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polygone régulier

 
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popolux
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 23 Déc 2006
Messages: 87

MessagePosté le: 27 Juin 2008, 11:42    Sujet du message: polygone régulier Répondre en citant

Allez ça fait longtemps qu'il n'y a pas eu un exercice :

Soit N une norme sur [tex:5a2090039d]\mathbb{R}^{2}[/tex:5a2090039d], existe-il un polygone régulier pour cette norme?
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Beuh??? Jvois vraiment pas
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Abou
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 18 Oct 2007
Messages: 347
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MessagePosté le: 27 Juin 2008, 12:47    Sujet du message: Répondre en citant

Mhh, je dirais oui, en prenant deux vecteurs orthonormés et en complétant le "carré".
Après si la question est :
[tex:d75a26a8a6]\forall n \in \mathbb N [/tex:d75a26a8a6] existe-t-il un polygone régulier à [tex:d75a26a8a6]n[/tex:d75a26a8a6] cotés?

Ça doit être faisable par une famille de [tex:d75a26a8a6]n[/tex:d75a26a8a6] vecteurs normés (donc liés pour [tex:d75a26a8a6]n > 2[/tex:d75a26a8a6]) en essayant de s'arranger pour que leur coefficient de proportionnalité soit de 1 pour tous les vecteurs (i.e. leur somme est nulle).
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Cerise
Admin gentil


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Messages: 3323
Localisation: Rennes

MessagePosté le: 27 Juin 2008, 13:51    Sujet du message: Répondre en citant

La norme n'est pas forcément euclidienne, donc pas de notion de vecteurs orthonormés...
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amo ergo sum

Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation.
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popolux
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Messages: 87

MessagePosté le: 27 Juin 2008, 14:26    Sujet du message: Répondre en citant

Déjà pour un triangle équilatéral ce serait pas mal...
J'ai réussi à faire de triangles isocèles mais ça s'arrete la.
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Abou
Matheux(se) cinglé(e)


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Messages: 347
Localisation: Paris, mais presque.

MessagePosté le: 27 Juin 2008, 14:30    Sujet du message: Répondre en citant

Cerise a écrit:
La norme n'est pas forcément euclidienne, donc pas de notion de vecteurs orthonormés...


Oups Rolling Eyes

Bon, j'vais essayer de voir alors x)
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Thibaut
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Messages: 3226
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MessagePosté le: 27 Juin 2008, 16:06    Sujet du message: Répondre en citant

C'est quoi, un polygone régulier pour une norme quelconque ?
[tex:da40dd14c6]n[/tex:da40dd14c6] points équidistants d'un certain point central, et équidistants entre eux (pas deux-à-deux, mais cycliquement) ?
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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koko2
Être humain normal


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MessagePosté le: 01 Juil 2008, 2:05    Sujet du message: Répondre en citant

Pour le triangle équilatéral il suffit de trouver deux points sur le cercle de centre O et de rayon 1 distant de 1. On fixe un tel point x (à distance 1 de O) et on considère l'application y->||y-x|| elle est continue sur C(O,1) prend la valeur 0 en x et 2 en -x. Comme C(O,1) est connexe....
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popolux
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Messages: 87

MessagePosté le: 01 Juil 2008, 15:20    Sujet du message: Répondre en citant

Mouais, sauf que le cercle est connexe par arc pour la norme euclidienne mais pour une norme quelconque c'est pas évident, c'est justement là toute la difficulté.
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 01 Juil 2008, 15:32    Sujet du message: Répondre en citant

Pour montrer que la sphère unité d'un evn est connexe (sauf si c'est une droite) :
- on montre que si [tex:d5605743a4]A[/tex:d5605743a4] ouvert dans [tex:d5605743a4]S[/tex:d5605743a4], le cône [tex:d5605743a4]C (A) = \{ \lambda x, \lambda > 0, x \in A \}[/tex:d5605743a4] est ouvert dans [tex:d5605743a4]E[/tex:d5605743a4] (où [tex:d5605743a4]S[/tex:d5605743a4] est la sphère unité de l'evn [tex:d5605743a4]E[/tex:d5605743a4])
- Alors, si [tex:d5605743a4]F, G[/tex:d5605743a4] forment une partition de [tex:d5605743a4]S[/tex:d5605743a4] en deux ouverts-fermés, alors [tex:d5605743a4]C (F)[/tex:d5605743a4] et [tex:d5605743a4]C (G)[/tex:d5605743a4] forment une partition de [tex:d5605743a4]E - \{ 0 \}[/tex:d5605743a4] en deux ouverts-fermés, et comme celui-ci est connexe car [tex:d5605743a4]E[/tex:d5605743a4] n'est pas une droite, il vient que [tex:d5605743a4]C (F)[/tex:d5605743a4] ou [tex:d5605743a4]C (G)[/tex:d5605743a4] est vide, donc [tex:d5605743a4]F[/tex:d5605743a4] ou [tex:d5605743a4]G[/tex:d5605743a4] est vide.
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koko2
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MessagePosté le: 01 Juil 2008, 19:27    Sujet du message: Répondre en citant

La sphère est connexe parce que c'est l'image de R^\{O} par l'application x-> x/||x||
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koko2
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MessagePosté le: 01 Juil 2008, 19:28    Sujet du message: Répondre en citant

Et que IR^2\{O} est bien connexe...
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popolux
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MessagePosté le: 01 Juil 2008, 20:48    Sujet du message: Répondre en citant

Effectivement ça marche bien comme ça
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Thibaut
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MessagePosté le: 02 Juil 2008, 0:50    Sujet du message: Répondre en citant

Ah oui, tiens, c'est encore nettement plus simple comme ça... Au passage on a même la connexité par arcs...
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