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Le spectateur perdu

 
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
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MessagePosté le: 12 Sep 2008, 8:30    Sujet du message: Le spectateur perdu Répondre en citant

Pardon je craque...

Attention : Toute similitude de cet énoncé avec des évènement ayant réellement eu lieu n'est pas nécessairement fortuite...

Un spectateur se déplace à une vitesse constante [tex:c0b0a1a67b]v[/tex:c0b0a1a67b] dans un village olympique linéaire, représenté par le segment [tex:c0b0a1a67b][0,1][/tex:c0b0a1a67b]. Il vient de sortir d'un stade situé en [tex:c0b0a1a67b]x_0[/tex:c0b0a1a67b] après avoir assisté à une épreuve des jeux paralympiques. Il souhaite rentrer chez lui par le métro, mais ne sait pas où se trouvent les stations, qui sont en fait en 0 et en 1.
Pour trouver une station, il choisit donc d'utiliser les volontaires olympiques, nombreux dans le village. Il choisit donc de se déplacer initialement dans un sens arbitraire (avec équiprobabilité), demande à chaque fois qu'il croise un volontaire où se trouve la station la plus proche, et modifie ou non son sens de déplacement en fonction de la réponse. La distance qu'il parcourt entre deux rencontres de volntaires suit une loi exponentielle de paramètre [tex:c0b0a1a67b]k[/tex:c0b0a1a67b].
Malheureusement les volontaires sont incompétents et même après deux semaines de JO et une semaine de JP, ne savent pas tout à fait où se trouvent les stations. A l'abscisse [tex:c0b0a1a67b]x[/tex:c0b0a1a67b], ils indiquent la station en 0 avec probabilité [tex:c0b0a1a67b]p(x)[/tex:c0b0a1a67b] et celle en 1 avec probabilité [tex:c0b0a1a67b]1-p(x)[/tex:c0b0a1a67b]. (Soyons raisonnables : [tex:c0b0a1a67b]p[/tex:c0b0a1a67b] est continue décroissante, [tex:c0b0a1a67b]p(0)=1[/tex:c0b0a1a67b], [tex:c0b0a1a67b]p(1)=0[/tex:c0b0a1a67b])
Combien de temps faudra-t-il en moyenne à notre brave spectateur pour atteindre la station ?

On pourra ensuite étudier le cas d'un village bidimensionnel, avec la possibilité pour les volontaires d'indiquer des stations inexistantes dans la réalité...
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 12 Sep 2008, 15:39    Sujet du message: Répondre en citant

Si elle est supérieure à [tex:c42bda1b13]\max (x_0, 1 - x_0)[/tex:c42bda1b13], je te suggère de ne plus écouter les avis des autres...
Et si elle est strictement inférieure à [tex:c42bda1b13]\min (x_0, 1 - x_0)[/tex:c42bda1b13], je pense que tu intéresseras des physiciens...
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 12 Sep 2008, 20:32    Sujet du message: Répondre en citant

Qui, "elle" ?
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 12 Sep 2008, 22:59    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, au choix :
- la réponse
- la longueur du déplacement du spectateur (sous-entendu : en espérance)
- l'espérance de la longueur du déplacement du spectateur
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Salque
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MessagePosté le: 13 Sep 2008, 14:16    Sujet du message: Répondre en citant

Quelle est la différence entre les deux derniers points ?
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 14 Sep 2008, 3:37    Sujet du message: Répondre en citant

Ils ont le même sens, mais grammaticalement c'est différent. Dans un cas, "elle" est au féminin parce que "espérance" l'est, dans l'autre c'est parce que c'est "longueur" qui l'est.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 14 Sep 2008, 4:05    Sujet du message: Répondre en citant

Bah, clairement elle est strictement superieure... justement, la question est : de combien ?
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 14 Sep 2008, 10:39    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:
Bah, clairement elle est strictement superieure... justement, la question est : de combien ?
Euh, pour moi, elle est clairement strictement supérieure à [tex:64de936b51]\min (x_0, 1 - x_0)[/tex:64de936b51], mais je ne vois aucune raison pour qu'elle soit strictement supérieure à [tex:64de936b51]\max (x_0, 1 - x_0)[/tex:64de936b51] (bon, d'accord, si, pour [tex:64de936b51]x_0 = 1/2[/tex:64de936b51], vu que c'est pareil. Mais d'après les contraintes que tu donnes à [tex:64de936b51]p[/tex:64de936b51] en [tex:64de936b51]0[/tex:64de936b51] et [tex:64de936b51]1[/tex:64de936b51], à ces points il y a égalité.
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antony
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MessagePosté le: 14 Sep 2008, 17:53    Sujet du message: Répondre en citant

Oups pardon, j'avais lu min pour les deux. En meme temps je pense qu'en prenant un p assez merdique (genre presque egale a 1/2) (bon la on est proche d'un p raisonnable en fait...) je suis a peu pres sur que c'est plus que max()...

Tiens, une autre question, peut-etre un peu plus serieuse : Trouver la strategie optimale pour minimiser l'esperance de la distance parcourue en supposant que l'emplacement du stade est tire de maniere uniforme dans le village olympique. Et si en plus on ne connait pas la longueur du village ?
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Salque
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MessagePosté le: 15 Sep 2008, 8:21    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
Trouver la strategie optimale pour minimiser l'esperance de la distance parcourue en supposant que l'emplacement du stade est tire de maniere uniforme dans le village olympique.


Je pense que, pour p assez mauvais, la meilleure stratégie c'est d'aller toujours tout droit sans faire gaffe aux passants ^^

Citation:
Et si en plus on ne connait pas la longueur du village ?


Formulation trop vague. Il faudrait que tu donnes la loi.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 15 Sep 2008, 15:06    Sujet du message: Répondre en citant

Elle est laissee au choix du modelisateur Smile
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