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Connexité locale et connexité locale par arcs
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 23 Nov 2008, 9:16    Sujet du message: Connexité locale et connexité locale par arcs Répondre en citant

Quelqu'un a-t-il un exemple d'un espace localement connexe mais pas localement connexe par arcs ?
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 26 Nov 2008, 17:21    Sujet du message: Répondre en citant

Finalement, j'ai pu trouver la réponse dans le livre "Counterexamples in Topology" que le TD-man de topologie (Olivier Glass) m'a prêté pour l'occasion.
Un contre-exemple simple est IN muni de la topologie co-finie, mais c'est de la triche, parce que c'est pas un espace séparé. Pour le faire avec un espace séparé, on peut prendre par exemple la longue ligne étendue. Il est facile de voir que globalement, elle est connexe mais pas connexe par arcs. Si on regarde au voisinage du point qui est au bout, on voit de même qu'il n'a aucun voisinage connexe par arcs ; mais tout intervalle est clairement connexe, donc l'espace est localement connexe.
En connectant les deux bouts par un segment [0; 1] ou en rajoutant à côté un point pas connecté au reste, il est facile de construire un espace localement connexe et pas localement connexe par arcs, mais, respectivement, connexe par arcs ou pas connexe du tout.

Un peu dans le même esprit, il y a aussi [0; 1]^2 muni de la topologie de l'ordre lexicographique : au voisinage des bords, ce n'est pas localement connexe.

Maintenant la question que je me pose c'est : Peut-on trouver un espace localement connexe mais pas localement connexe par arcs qui soit un sous-espace de IR^n, ou peut-on démontrer un théorème qui dit que ce n'est pas possible ?
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Toumaf
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MessagePosté le: 12 Mai 2009, 14:31    Sujet du message: Répondre en citant

Est-ce que le graphe de x -> sin(1/x), union le segment [-1, 1] vertical en x=0 ne serait pas ton exemple ?

(Regarde le point (0,0).)

Si on veut un espace connexe par arcs globalement, il suffit par exemple de rajouter la droite horizontale y=1.

B, pas sûr à 100 %
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 12 Mai 2009, 17:56    Sujet du message: Répondre en citant

Non non ça ne marche pas, c'était bien le premier exemple que j'avais essayé de regarder Smile Il n'est pas localement connexe : tout voisinage de (0, 0) (suffisement petit) a une infinité de composantes connexes.
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Cerise
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MessagePosté le: 12 Mai 2009, 18:47    Sujet du message: Répondre en citant

Effectivement, il n'est pas localement connexe (cet exemple est justement l'exemple "classique" d'espace connexe non localement connexe -- et aussi l'exemple classique d'espace connexe et non connexe par arc, mais ça je pense que vous le saviez...)
À noter qu'un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs (si je ne me plante pas).
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wiat
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 12 Mai 2009, 18:56    Sujet du message: Répondre en citant

Non tu te plantes pas, c'était la première question de notre premier partiel de topo Smile.
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super babouin
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 12 Mai 2009, 18:57    Sujet du message: Répondre en citant

Cerise a écrit:
À noter qu'un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs (si je ne me plante pas).

En effet.
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Salque
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MessagePosté le: 13 Mai 2009, 11:10    Sujet du message: Répondre en citant

Oui, on l'a vue en cours cette propriété.
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wiat
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MessagePosté le: 13 Mai 2009, 23:50    Sujet du message: Répondre en citant

super babouin a écrit:
Cerise a écrit:
À noter qu'un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs (si je ne me plante pas).

En effet.

1 minute trop tard... Smile
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super babouin
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 0:29    Sujet du message: Répondre en citant

Caramba, encore raté!
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Salque
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 0:58    Sujet du message: Répondre en citant

Oui mais c'était à 18h57 alors c'est bien quand même Smile

Ilia, que certes il s'agit d'un délire que tu ne peux probablement pas comprendre...
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super babouin
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 1:08    Sujet du message: Répondre en citant

Non, et d'ailleurs tu devrais avoir honte d'être encore réveillé à des heures pareilles.
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antony
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 1:25    Sujet du message: Répondre en citant

Bah quoi, il n'est que 19h24 ici, juste l'heure de sortir du labo et d'aller manger...
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Cerise
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 8:40    Sujet du message: Répondre en citant

Salque a écrit:
Oui mais c'était à 18h57 alors c'est bien quand même Smile

Ilia, que certes il s'agit d'un délire que tu ne peux probablement pas comprendre...

Moi si Mr. Green Une fois Séb dans le train il était voiture 18 place 57...
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 9:29    Sujet du message: Répondre en citant

Je sais, j'ai vu le billet en question Smile

Nathanaël : En l'occurrence, ce n'était pas pour glander... Le dîner des cirqueux avait fini vers 23h30 (ce qui est normal, vu qu'il avait commencé vers 22h), et après je suis allé faire du piano car je n'en avais pas encore fait de la journée.
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Cerise
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 16:58    Sujet du message: Répondre en citant

Salque a écrit:
et après je suis allé faire du piano car je n'en avais pas encore fait de la journée.

Mais comment tu fais pour faire à la fois du piano et de l'ordinateur ? Shocked
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 17:46    Sujet du message: Répondre en citant

La salle S est juste à côté de la salle piano (enfin, de celle que j'ai eue ce soir-là), et avant de me coucher, j'y ai fait un saut.
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 17:52    Sujet du message: Répondre en citant

Cerise a écrit:
Salque a écrit:
et après je suis allé faire du piano car je n'en avais pas encore fait de la journée.

Mais comment tu fais pour faire à la fois du piano et de l'ordinateur ? Shocked

Bah, un clavier c'est un clavier.
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 19:45    Sujet du message: Répondre en citant

Cerise a écrit:
Salque a écrit:
Oui mais c'était à 18h57 alors c'est bien quand même Smile

Ilia, que certes il s'agit d'un délire que tu ne peux probablement pas comprendre...

Moi si Mr. Green Une fois Séb dans le train il était voiture 18 place 57...

A croire qu'il l'a raconté à tout le monde...
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Cerise
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MessagePosté le: 14 Mai 2009, 21:52    Sujet du message: Répondre en citant

wiat a écrit:
A croire qu'il l'a raconté à tout le monde...

Je ne sais pas s'il l'a raconté à tout le monde, mais bon je ne suis tout de même pas tout le monde par rapport à Séb...
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