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Lieu de points et cercles !

 
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YoussefB
Être humain normal


Inscrit le: 28 Avr 2009
Messages: 11
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MessagePosté le: 28 Avr 2009, 15:28    Sujet du message: Lieu de points et cercles ! Répondre en citant

Bonjour,

Voilà un petit exo pour vous :

Soit [tex:1235f40280]\Gamma[/tex:1235f40280] et [tex:1235f40280]\mathcal{C}[/tex:1235f40280] deux cercles du plan. Trouver le lieu des points [tex:1235f40280]I[/tex:1235f40280] milieu de [tex:1235f40280][MN][/tex:1235f40280], où [tex:1235f40280]M\in\Gamma[/tex:1235f40280] et [tex:1235f40280]N\in\mathcal{C}[/tex:1235f40280] sont tels que la tangente à [tex:1235f40280]\Gamma[/tex:1235f40280] en [tex:1235f40280]M[/tex:1235f40280] et la tangente à [tex:1235f40280]\mathcal{C}[/tex:1235f40280] en [tex:1235f40280]N[/tex:1235f40280] sont orthogonales.
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Cerise
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MessagePosté le: 29 Avr 2009, 8:29    Sujet du message: Répondre en citant

Je note [tex:73862bc77d]O[/tex:73862bc77d] le centre de [tex:73862bc77d]\Gamma[/tex:73862bc77d], [tex:73862bc77d]P[/tex:73862bc77d] celui de [tex:73862bc77d]\mathcal C[/tex:73862bc77d], [tex:73862bc77d]R[/tex:73862bc77d] et [tex:73862bc77d]r[/tex:73862bc77d] leurs rayons respectifs, et [tex:73862bc77d]J[/tex:73862bc77d] le milieu de [tex:73862bc77d][OP][/tex:73862bc77d].
Le lieu des points [tex:73862bc77d]I[/tex:73862bc77d] est le cercle de centre [tex:73862bc77d]J[/tex:73862bc77d] et de rayon [tex:73862bc77d]\frac 1 2\sqrt{R^2+r^2}[/tex:73862bc77d].
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YoussefB
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Inscrit le: 28 Avr 2009
Messages: 11
Localisation: FarRockaway

MessagePosté le: 29 Avr 2009, 10:37    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour Cerise,

Tu peux poster ta démonstration, ça m'intéresse ?

Car perso, j'ai utilisé les complexes Wink
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Cerise
Admin gentil


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3323
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MessagePosté le: 29 Avr 2009, 19:58    Sujet du message: Répondre en citant

Pour le sens direct (I appartient à ce cercle), j'ai utilisé des produits scalaires. La condition sur M et N implique que les rayons [OM] et [PM] sont perpendiculaires.
On a
[tex:b3fed79c7e]2\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IO} + \overrightarrow{IP} = \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{IN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{NP}[/tex:b3fed79c7e]
Et donc
[tex:b3fed79c7e] 4 IJ^2 = (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{NP})(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{NP}) = MO^2 + 2 \overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{NP} + NP^2[/tex:b3fed79c7e] [tex:b3fed79c7e] = MO^2 + NP^2 = R^2+r^2[/tex:b3fed79c7e]
Voilà.

Le sens indirect (on parcourt bien tout le cercle ainsi), pas encore fait.
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