Maths et Délires

[LaPiNou]

Bonjour à tous,

Je suis nouveau

Et je vous propose ce petit problème que je n'arrive pas à résoudre :

Soit [tex:2a1a79187c]p[/tex:2a1a79187c] un nombre premier avec [tex:2a1a79187c]p=3(mod 4)[/tex:2a1a79187c].
Montrer que l'équation suivante admet une infinité de solution en entiers naturels [tex:2a1a79187c]x[/tex:2a1a79187c] et [tex:2a1a79187c]y[/tex:2a1a79187c] :
[tex:2a1a79187c](p+2)x^2-(p+1)y^2+px+(p+2)y=1[/tex:2a1a79187c]

J'ai essayé plusieurs méthodes mais le problème, c'est que je n'arrive pas à exploiter efficacement le fait que [tex:2a1a79187c]p=3(mod 4)[/tex:2a1a79187c]. D'habitude quand j'utilise les congruences, c'est pour montrer qu'une équation n'admet pas de solution mais là ...

un p'tit lapinou qui a besoin d'aide

[Jill-Jênn]

Est-ce que, par hasard, tu as suivi les cours de Bodo Lass ?

Je regarde ton problème après manger
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[LaPiNou]

[LaPiNou]

Soit tu n'as pas fini le problème, soit tu n'as pas fini de manger

[Jill-Jênn]

Soit je viens de me rappeler que j'avais complètement oublié

Je regarde avant de manger, pour le coup
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[Jill-Jênn]

Je n'arrive pas à prouver le cas [tex:55d81050f3]p = 3[/tex:55d81050f3]... xD
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[LaPiNou]

j'avais essayé aussi ^^ Il est vraiment difficile ce problème.
On pourrait pas bidouiller l'équation pour la mettre sous la forme [tex:f01abc8b85]X^2-dY^2=1[/tex:f01abc8b85]? et là on pourrait utiliser [tex:f01abc8b85]p=3(mod4)[/tex:f01abc8b85] pour montrer que [tex:f01abc8b85]d[/tex:f01abc8b85] n'est pas un carré puis on conclut (Pell-Fermat). Allez, j'essaie ça !

[Jill-Jênn]

Perso j'en étais à montrer que des discriminants étaient des carrés parfaits (ce qui est chiant), mais ton idée doit aboutir.
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[Jill-Jênn]

Au fait, bienvenue sur le forum
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[LaPiNou]

[Jill-Jênn]

[LaPiNou]

[Jill-Jênn]

« moi oui »

En tout cas, je ne sais pas (mais je ne sais pas grand-chose, en même temps...). Mais à mon avis, si ç'avait été possible, Pell-Fermat aurait eu droit à une généralisation
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[LaPiNou]

Bon bah alors j'abandonne peut-être que demain je serais plus courageux ^^.

[Jill-Jênn]

J'essaie encore un peu mais je suis en train de m'endormir dessus
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[Noé]

Salut, moi aussi je suis nouveau !
(enfin bon, je suis sûr qu'il y en a certains qui vont remarquer que ça fait presqu'un an que je suis inscrit sur le forum mais que je n'y ai jamais mis les pieds, mais bon... on va pas pinailler...).
Pour info, j'étais au stage de Grésillon 2008 et j'ai participé à l'OFM cette année.

J'ai un début de solution :
Déjà on met l'équation sous la forme [tex:2e2e95d2a6](p+2)(2(p+1)y-p-2)^2-(p+1)(2(p+2)x+p)^2=p^2[/tex:2e2e95d2a6].
Comme sous cette forme, elle est un peu inutilisable, on va déjà s'intéresser à l'équation plus générale [tex:2e2e95d2a6](p+2)X^2-(p+1)Y^2=p^2[/tex:2e2e95d2a6] [tex:2e2e95d2a6](*)[/tex:2e2e95d2a6].
On considère les suites [tex:2e2e95d2a6](X_n)[/tex:2e2e95d2a6] et [tex:2e2e95d2a6](Y_n)[/tex:2e2e95d2a6] définies par [tex:2e2e95d2a6]X_0[/tex:2e2e95d2a6] et [tex:2e2e95d2a6]Y_0[/tex:2e2e95d2a6] des entiers naturels tels que [tex:2e2e95d2a6](X_0;Y_O)[/tex:2e2e95d2a6] soit solution de [tex:2e2e95d2a6](*)[/tex:2e2e95d2a6] (il existe au moins un tel couple : le couple [tex:2e2e95d2a6](p;p)[/tex:2e2e95d2a6]) et par les relations de récurrences suivantes :
[tex:2e2e95d2a6]\left\{\begin{matrix}
X_{n+1}=(2p+3)X_n+(2p+2)Y_n\\
Y_{n+1}=(2p+4)X_n+(2p+3)Y_n
\end{matrix}\right.[/tex:2e2e95d2a6]
On montre facilement par récurrence que [tex:2e2e95d2a6](X_n;Y_n)[/tex:2e2e95d2a6] est solution de [tex:2e2e95d2a6](*)[/tex:2e2e95d2a6] pour tout [tex:2e2e95d2a6]n[/tex:2e2e95d2a6].
[tex:2e2e95d2a6](*)[/tex:2e2e95d2a6] a donc une infinité de solutions.
Maintenant, pour montrer que l'équation de départ en a également une infinité, il suffirait de montrer qu'il y a une infinité de [tex:2e2e95d2a6]n[/tex:2e2e95d2a6] tels que [tex:2e2e95d2a6]X_n\equiv -p-2 [2(p+1)][/tex:2e2e95d2a6] et [tex:2e2e95d2a6]Y_n\equiv p [2(p+2)][/tex:2e2e95d2a6]. Pour cela, il faudait :
- D'une part montrer que l'équation initiale a au moins une solution, ce qui nous fournirait un couple [tex:2e2e95d2a6](X_0;Y_0)[/tex:2e2e95d2a6] qui convient.
- D'autre part, que [tex:2e2e95d2a6](X_n)[/tex:2e2e95d2a6] est périodique modulo [tex:2e2e95d2a6]2(p+1)[/tex:2e2e95d2a6] et que [tex:2e2e95d2a6](Y_n)[/tex:2e2e95d2a6] est périodique modulo [tex:2e2e95d2a6]2(p+2)[/tex:2e2e95d2a6], ce qui doit se faire facilement avec le principe des tiroirs, mais que j'ai la flemme de rédiger.

[Thomas B]

Joli, mais je crois que tu as loupé le plus facile : x=0 et y=1 fournit ta solution de base
sinon, ça doit effectivement marcher avec le principe des tiroirs+récurrence, mais il faut plutôt montrer que {Xn, Yn} est périodique modulo 2(p+1)(p+2) (et désolé pour le Latex)
par contre, je ne vois pas ou on a utilisé p premier, et la congruence...
_________________
"Tout ce qui est hideux est négatif."
"L'éléphant est énorme, mais le mammouth est n+1-orme."

[Noé]

En fait je viens de me rendre compte que j'étais tout près de la solution. Mais comme je suis complètement endormi aujourd'hui (comme d'habitude d'ailleurs ), je l'avais même pas remarqué !
D'abord, le couple [tex:553768f8af](0;1)[/tex:553768f8af] est solution de l'équation de départ, ce qui donne [tex:553768f8af](X_0;Y_0)=(p;p)[/tex:553768f8af].
Ensuite, d'après les relations de récurrence, on a :
[tex:553768f8af]\left\{\begin{matrix}
X_{n+1}\equiv X_n [2(p+1)]\\
Y_{n+1}\equiv Y_n [2(p+2)]
\end{matrix}\right.[/tex:553768f8af]
Du coup, pour tout entier naturel [tex:553768f8af]n[/tex:553768f8af] on a
[tex:553768f8af]\left\{\begin{matrix}
X_n\equiv p [2(p+1)]\\
Y_n\equiv p [2(p+2)]
\end{matrix}\right.[/tex:553768f8af]
et on peut donc déduire de tout couple [tex:553768f8af](X_n;Y_n)[/tex:553768f8af] solution de [tex:553768f8af](*)[/tex:553768f8af] un couple [tex:553768f8af](x_n;y_n)[/tex:553768f8af] solution de l'équation initiale, avec [tex:553768f8af]x_n=\frac{Y_n-p}{2(p+2)}[/tex:553768f8af] et [tex:553768f8af]y_n=\frac{X_n+p+2}{2(p+1)}[/tex:553768f8af].
L'équation de départ a donc une infinité de solutions.

Bon, ce qui m'inquiète un peu, j'avoue, c'est que je n'ai ni utilisé le fait que p était premier, ni le fait qu'il soit congru à 3 modulo 4. Donc, si vous voyez un énorme erreur dans ma démonstration, dites-le moi...

[Noé]

Ah, messages croisés. Faut dire que je galère tellement avec le latex qu'à chaque fois ça me prend trois heures d'écrire une réponse comme ça.

[Thomas B]

Ah oui j'avais pas vu ça, mais Y(n+1) est plutôt congru à -Y(n) mod 2(p+2) et d'ailleurs, je pense qu'on peut trouver une relation de récurrence directement sur les x et y...
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