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équation diophantienne
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LaPiNou
Légère tendance aux maths


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MessagePosté le: 09 Juin 2009, 13:26    Sujet du message: équation diophantienne Répondre en citant

Bonjour à tous,

Je suis nouveau Very Happy

Et je vous propose ce petit problème que je n'arrive pas à résoudre :

Soit [tex:2a1a79187c]p[/tex:2a1a79187c] un nombre premier avec [tex:2a1a79187c]p=3(mod 4)[/tex:2a1a79187c].
Montrer que l'équation suivante admet une infinité de solution en entiers naturels [tex:2a1a79187c]x[/tex:2a1a79187c] et [tex:2a1a79187c]y[/tex:2a1a79187c] :
[tex:2a1a79187c](p+2)x^2-(p+1)y^2+px+(p+2)y=1[/tex:2a1a79187c]

J'ai essayé plusieurs méthodes mais le problème, c'est que je n'arrive pas à exploiter efficacement le fait que [tex:2a1a79187c]p=3(mod 4)[/tex:2a1a79187c]. D'habitude quand j'utilise les congruences, c'est pour montrer qu'une équation n'admet pas de solution mais là ...

un p'tit lapinou qui a besoin d'aide
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 09 Juin 2009, 20:52    Sujet du message: Répondre en citant

Est-ce que, par hasard, tu as suivi les cours de Bodo Lass ?

Je regarde ton problème après manger Razz
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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LaPiNou
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MessagePosté le: 09 Juin 2009, 22:14    Sujet du message: Répondre en citant

Jill-Jênn a écrit:
Est-ce que, par hasard, tu as suivi les cours de Bodo Lass ?


je le connais pas ! pourquoi ? (En fait je suis tunisien, et je vais participer aux OIM cet été, donc on nous a donné ce problème au cours du stage de formation ^^ )

Jill-Jênn a écrit:
Je regarde ton problème après manger Razz


D'accord. merci !
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LaPiNou
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 11:34    Sujet du message: Répondre en citant

Soit tu n'as pas fini le problème, soit tu n'as pas fini de manger Laughing Twisted Evil
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 20:25    Sujet du message: Répondre en citant

Soit je viens de me rappeler que j'avais complètement oublié Razz

Je regarde avant de manger, pour le coup Razz
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 21:43    Sujet du message: Répondre en citant

Je n'arrive pas à prouver le cas [tex:55d81050f3]p = 3[/tex:55d81050f3]... xD
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LaPiNou
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 22:13    Sujet du message: Répondre en citant

Laughing j'avais essayé aussi ^^ Il est vraiment difficile ce problème.
On pourrait pas bidouiller l'équation pour la mettre sous la forme [tex:f01abc8b85]X^2-dY^2=1[/tex:f01abc8b85]? et là on pourrait utiliser [tex:f01abc8b85]p=3(mod4)[/tex:f01abc8b85] pour montrer que [tex:f01abc8b85]d[/tex:f01abc8b85] n'est pas un carré puis on conclut (Pell-Fermat). Allez, j'essaie ça ! Wink
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 22:19    Sujet du message: Répondre en citant

Perso j'en étais à montrer que des discriminants étaient des carrés parfaits (ce qui est chiant), mais ton idée doit aboutir.
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 22:25    Sujet du message: Répondre en citant

Au fait, bienvenue sur le forum Smile
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LaPiNou
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 22:29    Sujet du message: Répondre en citant

Jill-Jênn a écrit:
Perso j'en étais à montrer que des discriminants étaient des carrés parfaits (ce qui est chiant), mais ton idée doit aboutir.


J'avais essayé ça aussi : c'est très chiant et ça ne mène pas (ça ne m'a pas mené) à grand chose Rolling Eyes

Citation:
Au fait, bienvenue sur le forum

merci Very Happy
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 22:47    Sujet du message: Répondre en citant

LaPiNou a écrit:
Jill-Jênn a écrit:
Perso j'en étais à montrer que des discriminants étaient des carrés parfaits (ce qui est chiant), mais ton idée doit aboutir.


J'avais essayé ça aussi : c'est très chiant et ça ne mène pas (ça ne m'a pas mené) à grand chose Rolling Eyes
À mon avis, tout ce que tu vas réussir à faire, c'est factoriser en [tex:ecf71eb21f]cX^2 - dY^2 = f[/tex:ecf71eb21f]... Peut-être qu'il faut coupler Pell-Fermat et discriminants.
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LaPiNou
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 23:09    Sujet du message: Répondre en citant

Jill-Jênn a écrit:
À mon avis, tout ce que tu vas réussir à faire, c'est factoriser en [tex:41b0c4a8c6]cX^2 - dY^2 = f[/tex:41b0c4a8c6]

Et on sait quelque chose sur les solutions de ce type d'équations ? (si c'est non, dis moi oui).
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 23:19    Sujet du message: Répondre en citant

« moi oui »

En tout cas, je ne sais pas (mais je ne sais pas grand-chose, en même temps...). Mais à mon avis, si ç'avait été possible, Pell-Fermat aurait eu droit à une généralisation Razz
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LaPiNou
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 23:27    Sujet du message: Répondre en citant

Bon bah alors j'abandonne Razz peut-être que demain je serais plus courageux ^^.
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 10 Juin 2009, 23:30    Sujet du message: Répondre en citant

J'essaie encore un peu mais je suis en train de m'endormir dessus Razz
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Noé
Être humain normal


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MessagePosté le: 12 Juin 2009, 17:38    Sujet du message: Répondre en citant

Salut, moi aussi je suis nouveau !
(enfin bon, je suis sûr qu'il y en a certains qui vont remarquer que ça fait presqu'un an que je suis inscrit sur le forum mais que je n'y ai jamais mis les pieds, mais bon... on va pas pinailler...).
Pour info, j'étais au stage de Grésillon 2008 et j'ai participé à l'OFM cette année.

J'ai un début de solution :
Déjà on met l'équation sous la forme [tex:2e2e95d2a6](p+2)(2(p+1)y-p-2)^2-(p+1)(2(p+2)x+p)^2=p^2[/tex:2e2e95d2a6].
Comme sous cette forme, elle est un peu inutilisable, on va déjà s'intéresser à l'équation plus générale [tex:2e2e95d2a6](p+2)X^2-(p+1)Y^2=p^2[/tex:2e2e95d2a6] [tex:2e2e95d2a6](*)[/tex:2e2e95d2a6].
On considère les suites [tex:2e2e95d2a6](X_n)[/tex:2e2e95d2a6] et [tex:2e2e95d2a6](Y_n)[/tex:2e2e95d2a6] définies par [tex:2e2e95d2a6]X_0[/tex:2e2e95d2a6] et [tex:2e2e95d2a6]Y_0[/tex:2e2e95d2a6] des entiers naturels tels que [tex:2e2e95d2a6](X_0;Y_O)[/tex:2e2e95d2a6] soit solution de [tex:2e2e95d2a6](*)[/tex:2e2e95d2a6] (il existe au moins un tel couple : le couple [tex:2e2e95d2a6](p;p)[/tex:2e2e95d2a6]) et par les relations de récurrences suivantes :
[tex:2e2e95d2a6]\left\{\begin{matrix}
X_{n+1}=(2p+3)X_n+(2p+2)Y_n\\
Y_{n+1}=(2p+4)X_n+(2p+3)Y_n
\end{matrix}\right.[/tex:2e2e95d2a6]
On montre facilement par récurrence que [tex:2e2e95d2a6](X_n;Y_n)[/tex:2e2e95d2a6] est solution de [tex:2e2e95d2a6](*)[/tex:2e2e95d2a6] pour tout [tex:2e2e95d2a6]n[/tex:2e2e95d2a6].
[tex:2e2e95d2a6](*)[/tex:2e2e95d2a6] a donc une infinité de solutions.
Maintenant, pour montrer que l'équation de départ en a également une infinité, il suffirait de montrer qu'il y a une infinité de [tex:2e2e95d2a6]n[/tex:2e2e95d2a6] tels que [tex:2e2e95d2a6]X_n\equiv -p-2 [2(p+1)][/tex:2e2e95d2a6] et [tex:2e2e95d2a6]Y_n\equiv p [2(p+2)][/tex:2e2e95d2a6]. Pour cela, il faudait :
- D'une part montrer que l'équation initiale a au moins une solution, ce qui nous fournirait un couple [tex:2e2e95d2a6](X_0;Y_0)[/tex:2e2e95d2a6] qui convient.
- D'autre part, que [tex:2e2e95d2a6](X_n)[/tex:2e2e95d2a6] est périodique modulo [tex:2e2e95d2a6]2(p+1)[/tex:2e2e95d2a6] et que [tex:2e2e95d2a6](Y_n)[/tex:2e2e95d2a6] est périodique modulo [tex:2e2e95d2a6]2(p+2)[/tex:2e2e95d2a6], ce qui doit se faire facilement avec le principe des tiroirs, mais que j'ai la flemme de rédiger.
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Thomas B
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MessagePosté le: 12 Juin 2009, 21:10    Sujet du message: Répondre en citant

Joli, mais je crois que tu as loupé le plus facile : x=0 et y=1 fournit ta solution de base Laughing Laughing
sinon, ça doit effectivement marcher avec le principe des tiroirs+récurrence, mais il faut plutôt montrer que {Xn, Yn} est périodique modulo 2(p+1)(p+2) (et désolé pour le Latex)
par contre, je ne vois pas ou on a utilisé p premier, et la congruence...
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Noé
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MessagePosté le: 12 Juin 2009, 21:13    Sujet du message: Répondre en citant

En fait je viens de me rendre compte que j'étais tout près de la solution. Mais comme je suis complètement endormi aujourd'hui (comme d'habitude d'ailleurs Wink ), je l'avais même pas remarqué !
D'abord, le couple [tex:553768f8af](0;1)[/tex:553768f8af] est solution de l'équation de départ, ce qui donne [tex:553768f8af](X_0;Y_0)=(p;p)[/tex:553768f8af].
Ensuite, d'après les relations de récurrence, on a :
[tex:553768f8af]\left\{\begin{matrix}
X_{n+1}\equiv X_n [2(p+1)]\\
Y_{n+1}\equiv Y_n [2(p+2)]
\end{matrix}\right.[/tex:553768f8af]
Du coup, pour tout entier naturel [tex:553768f8af]n[/tex:553768f8af] on a
[tex:553768f8af]\left\{\begin{matrix}
X_n\equiv p [2(p+1)]\\
Y_n\equiv p [2(p+2)]
\end{matrix}\right.[/tex:553768f8af]
et on peut donc déduire de tout couple [tex:553768f8af](X_n;Y_n)[/tex:553768f8af] solution de [tex:553768f8af](*)[/tex:553768f8af] un couple [tex:553768f8af](x_n;y_n)[/tex:553768f8af] solution de l'équation initiale, avec [tex:553768f8af]x_n=\frac{Y_n-p}{2(p+2)}[/tex:553768f8af] et [tex:553768f8af]y_n=\frac{X_n+p+2}{2(p+1)}[/tex:553768f8af].
L'équation de départ a donc une infinité de solutions.

Bon, ce qui m'inquiète un peu, j'avoue, c'est que je n'ai ni utilisé le fait que p était premier, ni le fait qu'il soit congru à 3 modulo 4. Donc, si vous voyez un énorme erreur dans ma démonstration, dites-le moi...
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Noé
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MessagePosté le: 12 Juin 2009, 21:16    Sujet du message: Répondre en citant

Ah, messages croisés. Faut dire que je galère tellement avec le latex qu'à chaque fois ça me prend trois heures d'écrire une réponse comme ça.
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Thomas B
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MessagePosté le: 12 Juin 2009, 21:27    Sujet du message: Répondre en citant

Ah oui j'avais pas vu ça, mais Y(n+1) est plutôt congru à -Y(n) mod 2(p+2) et d'ailleurs, je pense qu'on peut trouver une relation de récurrence directement sur les x et y...
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