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équation diophantienne
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LaPiNou
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 08 Juin 2009
Messages: 41

MessagePosté le: 12 Juin 2009, 21:48    Sujet du message: Répondre en citant

Je ne vois aucune erreur à priori mais ça m'étonne qu'on n'utilise même pas le fait que p soit premier ! Il n'y aurait pas un contre exemple ? En tout cas la démo me semble correcte. Très belle solution!

Pour la remarque de Thomas, effectivement Y(n+1) est congru à -Y(n), donc Y(n+2) est congru à Y(n) Very Happy , il suffit de prendre les couples (X(2n), Y(2n))
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Thomas B
Être humain normal


Inscrit le: 06 Avr 2009
Messages: 9

MessagePosté le: 12 Juin 2009, 22:10    Sujet du message: Répondre en citant

et on peut effectivement en déduire une relation de récurrence sur les x(2n) et les y(2n), mais elle a l'air très moche donc ça n'a pas beaucoup d'intérêt.
_________________
"Tout ce qui est hideux est négatif."
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un_passant
Être humain normal


Inscrit le: 14 Juin 2009
Messages: 13

MessagePosté le: 14 Juin 2009, 0:36    Sujet du message: Répondre en citant

jolie solution Noé ! Par contre j'arrive pas du tout à voir comment tu as trouvé les relations de récurrence. Shocked Tu peux expliquer ?
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LaPiNou
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 08 Juin 2009
Messages: 41

MessagePosté le: 14 Juin 2009, 9:06    Sujet du message: Répondre en citant

un_passant a écrit:
jolie solution Noé ! Par contre j'arrive pas du tout à voir comment tu as trouvé les relations de récurrence. Shocked Tu peux expliquer ?

Salut,

Malheureusement, je ne crois pas qu'il y ait une vraie méthode, il faut avoir un peu de flair et savoir bidouiller les formules jusqu'à trouver la bonne ^^

Soit dit en passant (sans jeu de mot Razz), la première formule (factorisation en [tex:55717dfe96](p+2)X^2-(p+1)Y^2=p^2[/tex:55717dfe96]) n'est pas facile à voir non plus !
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un_passant
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Inscrit le: 14 Juin 2009
Messages: 13

MessagePosté le: 14 Juin 2009, 14:33    Sujet du message: Répondre en citant

Salut,

pour la première formule c'est quand même moins mystérieux, en gros il a mis l'équation sous forme canonique (moi aussi j'avais fait un truc de ce genre).

Sinon LaPiNou, si un jour tu as des infos sur la provenance de l'exo et sur pourquoi p devait être premier congru à 3 mod 4...
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Noé
Être humain normal


Inscrit le: 14 Juin 2008
Messages: 9

MessagePosté le: 14 Juin 2009, 22:08    Sujet du message: Répondre en citant

En effet pour le début c'est simplement la forme canonique.
Par contre, pour les relations de récurrence, ce n'est pas du hasard. J'ai utilisé un truc qui a l'air de marcher souvent, même si jusqu'à maintenant je n'ai pas eu le courage d'essayer de prouver qu'il marchait à tous les coups Embarassed . Donc en effet, c'est quand même du bidouillage Wink .
Si [tex:15ab0917e1](X;Y)[/tex:15ab0917e1] est solution de l'équation [tex:15ab0917e1](p+2)X^2-(p+1)Y^2=p^2[/tex:15ab0917e1], alors on peut dire que quand [tex:15ab0917e1]X[/tex:15ab0917e1] et [tex:15ab0917e1]Y[/tex:15ab0917e1] deviennent grands, le rapport [tex:15ab0917e1]\frac {Y}{X}[/tex:15ab0917e1] tend vers [tex:15ab0917e1]\sqrt{\frac{p+2}{p+1}}[/tex:15ab0917e1].
Le développement en fractions continues de [tex:15ab0917e1]\sqrt{\frac{p+2}{p+1}}[/tex:15ab0917e1] est [tex:15ab0917e1][1,2p+2,2,2p+2,2...][/tex:15ab0917e1] (je rapelle qu'il est périodique pour toute racine d'une équation de degré 2 a coefficients rationnels). Donc je pose [tex:15ab0917e1]\frac {Y_n}{X_n}=[1,2p+2,2,...,2p+2,2][/tex:15ab0917e1] (avec n périodes), et là je recherche les relations de récurrence entre les [tex:15ab0917e1]X_{n+1}[/tex:15ab0917e1] et [tex:15ab0917e1]X_{n+1}[/tex:15ab0917e1] et les [tex:15ab0917e1]X_n[/tex:15ab0917e1] et [tex:15ab0917e1]Y_n[/tex:15ab0917e1], et j'obtiens celles que j'ai données. Ensuite, il suffit de prendre son courage à deux mains et de tout développer pour voir que miraculeusement, [tex:15ab0917e1](p+2)X_{n+1}^2-(p+1)Y_{n+1}^2=(p+2)X_n^2-(p+1)Y_n^2[/tex:15ab0917e1] (je vous l'avais dit, c'est du bidouillage) !
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LaPiNou
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MessagePosté le: 14 Juin 2009, 22:46    Sujet du message: Répondre en citant

Noé a écrit:
En effet pour le début c'est simplement la forme canonique.

Autant pour moi Embarassed, j'avais abandonné dès que sont apparues les fractions toutes moches alors qu'il suffisait de multiplier le tout par [tex:398a8d7201]4(p+1)(p+2)[/tex:398a8d7201] pour que tout s'arrange.
Noé a écrit:
Par contre, pour les relations de récurrence, ce n'est pas du hasard. J'ai utilisé un truc qui a l'air de marcher souvent, même si jusqu'à maintenant je n'ai pas eu le courage d'essayer de prouver qu'il marchait à tous les coups Embarassed . Donc en effet, c'est quand même du bidouillage Wink .
Si [tex:398a8d7201](X;Y)[/tex:398a8d7201] est solution de l'équation [tex:398a8d7201](p+2)X^2-(p+1)Y^2=p^2[/tex:398a8d7201], alors on peut dire que quand [tex:398a8d7201]X[/tex:398a8d7201] et [tex:398a8d7201]Y[/tex:398a8d7201] deviennent grands, le rapport [tex:398a8d7201]\frac {Y}{X}[/tex:398a8d7201] tend vers [tex:398a8d7201]\sqrt{\frac{p+2}{p+1}}[/tex:398a8d7201].
Le développement en fractions continues de [tex:398a8d7201]\sqrt{\frac{p+2}{p+1}}[/tex:398a8d7201] est [tex:398a8d7201][1,2p+2,2,2p+2,2...][/tex:398a8d7201] (je rapelle qu'il est périodique pour toute racine d'une équation de degré 2 a coefficients rationnels). Donc je pose [tex:398a8d7201]\frac {Y_n}{X_n}=[1,2p+2,2,...,2p+2,2][/tex:398a8d7201] (avec n périodes), et là je recherche les relations de récurrence entre les [tex:398a8d7201]X_{n+1}[/tex:398a8d7201] et [tex:398a8d7201]X_{n+1}[/tex:398a8d7201] et les [tex:398a8d7201]X_n[/tex:398a8d7201] et [tex:398a8d7201]Y_n[/tex:398a8d7201], et j'obtiens celles que j'ai données. Ensuite, il suffit de prendre son courage à deux mains et de tout développer pour voir que miraculeusement, [tex:398a8d7201](p+2)X_{n+1}^2-(p+1)Y_{n+1}^2=(p+2)X_n^2-(p+1)Y_n^2[/tex:398a8d7201] (je vous l'avais dit, c'est du bidouillage) !

Moins bidouillé que ce que j'imaginais ! Tu n'as jamais été tenter de vérifier si ça marchait toujours ? Je crois qu'il y a une méthode analogue pour l'équation de Pell [tex:398a8d7201]x^2-ny^2=1[/tex:398a8d7201] en faisant intervenir les fractions continues de [tex:398a8d7201]\sqrt{n}[/tex:398a8d7201]. On pourrait peut-être étendre la preuve pour ce cas plus général ?
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LaPiNou
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 16:46    Sujet du message: Répondre en citant

un_passant a écrit:

Sinon LaPiNou, si un jour tu as des infos sur la provenance de l'exo et sur pourquoi p devait être premier congru à 3 mod 4...

Le stage commence Lundi prochain, je poserai la question et je vous dirai.
Sinon, on nous a donné d'autres exos, je peux les poster si ça vous intéresse (dites-le moi). Wink
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un_passant
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 19:43    Sujet du message: Répondre en citant

Vas-y ! (j'espère qu'ils sont moins durs que celui-là..)

Noé : merci pour ton explication, c'est intéressant... un de ces jours j'essaierai de comprendre pourquoi ça marche.
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LaPiNou
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 20:33    Sujet du message: Répondre en citant

Bon, j'en poste deux, un facile et un moins facile :

Citation:
Trouver le plus petit entier à 3 chiffres dont le triple n'a que des chiffres pairs.


Citation:

Trouver tous les couples d'entiers relatifs [tex:28087570e7](a, b)[/tex:28087570e7] tels que le système formé par les deux équations :
[tex:28087570e7]x^2+2ax-3a+1=0[/tex:28087570e7]
[tex:28087570e7]y^2-2by+x=0[/tex:28087570e7]
admette exactement trois solutions réelles.


bonne chance Wink
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un_passant
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 21:15    Sujet du message: Répondre en citant

en effet le premier n'est pas trop dur. Very Happy Je me penche sur le deuxième.
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un_passant
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 22:28    Sujet du message: Répondre en citant

(-5,-1) et (-5,1) ?
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LaPiNou
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 22:54    Sujet du message: Répondre en citant

ah benh non, ça marche pas !
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un_passant
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 22:57    Sujet du message: Répondre en citant

oups! Embarassed pardon j'avais laissé traîné un 2 quelque part, du coup ça change tout... donc en fait : pas de solution. Do you agree ?
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un_passant
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 23:02    Sujet du message: Répondre en citant

attends attends je suis pas sûr en fait...
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un_passant
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 23:05    Sujet du message: Répondre en citant

Si finalement c'est bon.
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LaPiNou
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 23:13    Sujet du message: Répondre en citant

bah si y en a des solutions ! Mets ta démarche qu'on puisse voir où ça cloche.
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un_passant
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 23:37    Sujet du message: Répondre en citant

Bon. Alors déjà, si le système a exactement 3 solutions, c'est que la première équation en a exactement 2 (mettons x_1 et x_2) tandis que la deuxième équation a une solution dans un cas (quand on prend x_2) et deux dans l'autre (avec x_1).

Si (1) a deux solutions, elles s'écrivent x_1=a-sqrt(a^2+3a-1) et x_2=a+sqrt(a^2+3a-1).

Maintenant, vu que le discriminant de (2) est 4(b^2-x), il faut qu'on ait b^2-x_2=0 , ie :

a+sqrt(a^2+3a-1)=b^2

On s'aperçoit alors que a^2+3a-1 est un carré ssi a=-5 ou a=2. Mais dans les deux cas a+sqrt(a^2+3a-1) n'est pas un carré. Donc pas de solution.

(bon d'accord c'est mal rédigé, mais je vois pas où ça cloche)
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LaPiNou
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 23:48    Sujet du message: Répondre en citant

presque ça, sauf que les solutions de la première équation c'est :
[tex:68ff003c35]x_1=-a-\sqrt{a^2+3a-1}[/tex:68ff003c35] et [tex:68ff003c35]x_2=-a+\sqrt{a^2+3a-1}[/tex:68ff003c35] Tu as oublié le signe moins. Wink
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un_passant
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MessagePosté le: 16 Juin 2009, 23:57    Sujet du message: Répondre en citant

ah oui... Rolling Eyes Bon ben (2,-1) et (2,1) alors. Merci en tout cas!
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