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Combinatoire ?

 
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Overlord
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MessagePosté le: 20 Mar 2010, 19:57    Sujet du message: Combinatoire ? Répondre en citant

Les épreuves d'un concours sont gardées dans un coffre-fort. Le jury de ce concours comprend 9 personnes et chaque membre du jury a les clés de certaines des serrures, de sorte que :
- au moins 6 membres du jury doivent être présents pour ouvrir le coffre ;
- 6 membres quelconques du jury peuvent ouvrir le coffre.

Combien existe-t-il de clés, au minimum ?

(Evidemment, une clé n'ouvre qu'une seule serrure, et il faut ouvrir toutes les serrures pour ouvrir le coffre)

PS : J'ai la réponse numérique, mais je n'ai pas le raisonnement.
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- Ceux qui vont sourire à cette blague parce qu'ils connaissent le binaire
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super babouin
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MessagePosté le: 20 Mar 2010, 20:42    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
Si tu prends 5 membres quelconques du jury, il existe au moins une clé qu'ils n'ont pas. Notons la k.
Maintenant tout autre groupe de 5 membres du jury possède k, car sinon l'union des deux groupes, qui ferait au moins 6 membres, ne pourrait pas ouvrir le coffre.
Donc il existe au moins autant de clés que de groupes de 5 membres du jury.

En fait ça suffit : Si chaque clé est associée à un tel groupe, et que chaque membre possède toutes les clés associée à un groupe qui ne le contient pas, alors on voit que 6 membres quelconques du jury possèdent ensemble toutes les clés.

Donc le minimum est [tex:4550feae92]\binom{9}{5} = 128[/tex:4550feae92].

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Overlord
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MessagePosté le: 20 Mar 2010, 21:10    Sujet du message: Répondre en citant

Putain, ils demandaient pas le nombre de "modèles" de clés, mais le nombre de clés, avec multiplicité T_T
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 21 Mar 2010, 0:45    Sujet du message: Répondre en citant

Heu...

Citation:
une clé n'ouvre qu'une seule serrure


Comment peut-il y avoir des "multiplicités" ?
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Overlord
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MessagePosté le: 21 Mar 2010, 1:12    Sujet du message: Répondre en citant

Une clé ouvre qu'une serrure, mais si t'as 3 exemplaires de la clé qui ouvre la (même) serrure X, ça compte 3x et pas 1x.
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Salque
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MessagePosté le: 21 Mar 2010, 16:35    Sujet du message: Répondre en citant

Ah, genre 3 exemplaires qui appartiennent à 3 examinateurs différents ? OK je vois.
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super babouin
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MessagePosté le: 22 Mar 2010, 20:27    Sujet du message: Répondre en citant

Ah je n'avais pas réalisé...
Du coup je ne suis pas sûr que ma stratégie soit encore optimale.
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Overlord
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MessagePosté le: 22 Mar 2010, 21:23    Sujet du message: Répondre en citant

Normalement ça donne bien le nombre de clés (4 * 126)
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MessagePosté le: 22 Mar 2010, 23:59    Sujet du message: Répondre en citant

Bah oui en fait je suis con, en effet chaque modèle doit exister en au moins 4 exemplaires, donc oui ma méthode est encore optimale.
Et il y a donc 512 clés pour 128 serrures... Un petit peu trop de sécurité, peut-être?
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 23 Mar 2010, 9:29    Sujet du message: Répondre en citant

C'est marrant, j'avais eu ce problème en DS en Terminale, mais avec [tex:0a4d0e20cb]p[/tex:0a4d0e20cb] et [tex:0a4d0e20cb]q[/tex:0a4d0e20cb] xD

Overlord a écrit:
Normalement ça donne bien le nombre de clés (4 * 126)
Faute de frappe ?

Vengeance :


D'ailleurs, c'est quoi cette orthographe 1990 que tu n'as toujours pas virée de ta signature ??!!
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Overlord
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MessagePosté le: 23 Mar 2010, 10:26    Sujet du message: Répondre en citant

9 choose 5 ça fait vraiment 126, pas 128 Mr Red
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MessagePosté le: 24 Mar 2010, 13:44    Sujet du message: Répondre en citant

xD Et pour la signature ?

Le virus de signature, c'est l'orthographe 1990, c'est ça ? Mr. Green
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MessagePosté le: 24 Mar 2010, 13:46    Sujet du message: Répondre en citant

Il est dit de recopier, pas de recopier et de modifier. Donc j'ai juste recopié.
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MessagePosté le: 24 Mar 2010, 13:51    Sujet du message: Répondre en citant

Tu ne m'avais pas déjà dit ça, d'ailleurs ?
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