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Une caractérisation de la compacité ?

 
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Salque
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MessagePosté le: 29 Sep 2010, 11:20    Sujet du message: Une caractérisation de la compacité ? Répondre en citant

On sait que tout espace métrique compact est complet, donc en d'autres termes, tout espace compact est complet dans toute métrique qui induit sa topologie. Peut-on trouver une réciproque, au moins sous certaines conditions ? Déjà, il faut clairement imposer que l'espace soit métrisable, sinon ça n'a aucune chance de marcher. Est-ce suffisant (j'ai quand même un doute) ?
Voici une ébauche de démonstration : si on prend un espace non compact, on peut trouver une suite d'ouverts [tex:26b9954fe5]U_n[/tex:26b9954fe5] qui le recouvrent telle qu'aucun ouvert n'est recouvert par les autres. On peut donc trouver une suite [tex:26b9954fe5]x_n[/tex:26b9954fe5] telle que [tex:26b9954fe5]x_n \in U_m[/tex:26b9954fe5] ssi [tex:26b9954fe5]n=m[/tex:26b9954fe5]. Il est facile de voir qu'elle ne peut pas être convergente (et n'a même aucune valeur d'adhérence) ; si on arrivait à faire en sorte qu'elle soit de Cauchy, ce serait génial... le problème, c'est que je n'ai aucune idée comment s'y prendre pour construire une métrique qui est censée déterminer une certaine topologie, et satisfaire des contraintes en plus.
Qu'en pensez-vous ?
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henri
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MessagePosté le: 18 Déc 2010, 13:22    Sujet du message: Répondre en citant

Un espace métrique complet est compact si et seulement si il est précompact (on peut le recouvrir par un nombre fini de boules de rayon epsilon, et ce pour tout epsilon).
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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Salque
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MessagePosté le: 21 Déc 2010, 17:37    Sujet du message: Répondre en citant

Pour une métrique donnée, oui. Mais je me plaçais justement dans un contexte où on ne donne pas une métrique a priori (sinon je ne parlerais pas d'espaces métrisables). En fait, quand je disais "une réciproque", j'imaginais un énoncé du genre :
"Tout espace topologique qui est complet dans toute métrique qui induit sa topologie est compact." (Bon, j'avoue, je n'ai pas été très clair.)
Comme je disais, tel quel, il est évidemment faux : pour un espace non métrisable, l'hypothèse devient "vacuously true", et la conclusion peut très bien être fausse. Quelles hypothèses peut-on rajouter pour que l'énoncé devienne vrai ?

(L'exemple idiot qui motive cette question : [tex:bafab917c9]\mathbb{R}[/tex:bafab917c9] est non compact, bien que complet. L'explication, c'est qu'il est homéomorphe à ]0, 1[ qui n'est pas complet. A vue de nez, on doit pouvoir généraliser ça à n'importe quel fermé de [tex:bafab917c9]\mathbb{R}^n[/tex:bafab917c9] ; qu'en est-il pour un espace quelconque ?)
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henri
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MessagePosté le: 22 Déc 2010, 13:36    Sujet du message: Répondre en citant

Effectivement, c'est plus subtil. Ca marche aussi avec des espaces discrets; mais je ne vois pas trop comment généraliser.
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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