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équations fonctionelles

 
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Auteur Message
mathsappli
Être humain normal


Inscrit le: 05 Fév 2011
Messages: 2

MessagePosté le: 05 Fév 2011, 18:08    Sujet du message: équations fonctionelles Répondre en citant

Bonjour,

Je suis actuelement en 1A d'école d'ingé et n'arrivant pas à terminer la résolution d'un exo, je fais appel à vous Wink .
l'exo était de caractériser les fonctions caractéristiques des loi N(0,1).

après quelque questions, je bloque à une question d'équations fonctionelles:

le but est de caractériser les fonctions f telles que pour tout u,v dans R^2,
f(u) * f(v) =f(sqrt(u^2 + v^2))
on suppose toutes les hypothèses de régularité que l'on veut (f continue + dérivable....voir plus encore).
Ma question étant: comment determiner toutes les fonctions f solutions de cette équation?

Je vous remercie d'avance de vos réponses Smile
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Cerise
Admin gentil


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3323
Localisation: Rennes

MessagePosté le: 07 Fév 2011, 23:04    Sujet du message: Répondre en citant

Quelques pistes :
- déjà, en prenant v = 0, on montre que soit f est identiquement nulle, soit f(0) = 1, et que f est une fonction paire.
- avec v = u on trouve [tex:9b1c2064b0]f(u)^2 = f(\sqrt{2} u)[/tex:9b1c2064b0] puis [tex:9b1c2064b0]f(u)^4 = f(2u)[/tex:9b1c2064b0].

Je ne sais pas si ça aide. Je vais me coucher, je continuerai à réfléchir à ça plus tard. (Et peut-être que d'ici-là, quelqu'un aura posté la réponse...)
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amo ergo sum

Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 08 Fév 2011, 5:22    Sujet du message: Répondre en citant

Si on suppose que f est DSE, on voit que f(u)^2=f(sqrt(2)u) et f(0)=1 définit tous les coefficients du DSE de manière unique. Par ailleurs, la gaussienne est solution du problème... et hop.
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mathsappli
Être humain normal


Inscrit le: 05 Fév 2011
Messages: 2

MessagePosté le: 13 Fév 2011, 20:10    Sujet du message: Répondre en citant

Bonsoir,

Je vous remercie tout deux de m'avoir répondu aussi rapidement et efficacement Razz . Toutefois, je suis arivé à résoudre le problème en utilisant le fait qu'on sait caractériser les fonctions solutions de f(a+b)=f(a)*f(b) puis en utilisant un changement de variables approprié. D'autre part, 2 autres méthodes m'ont été suggérées sur un autre forum Smile , ce qui ne m'empêche pas de vous remercier une fois encore Wink
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