Maths et Délires
Des maths et des délires
 

Maths et Délires Index du Forum

 FAQFAQ   RechercherRechercher   Liste des MembresListe des Membres   Groupes d'utilisateursGroupes d'utilisateurs   S'enregistrerS'enregistrer 
 ProfilProfil   Se connecter pour vérifier ses messages privésSe connecter pour vérifier ses messages privés   ConnexionConnexion 

IMO 2005 pb6

 
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques olympiques
Voir le sujet précédent :: Voir le sujet suivant  
Auteur Message
Arnaud
Invité





MessagePosté le: 26 Juil 2005, 20:11    Sujet du message: IMO 2005 pb6 Répondre en citant

Problème 6 :

énoncé :

Dans un concours mathématique 6 problèmes ont été posés aux concurrents. Toute paire de problèmes a été résolue par strictement plus de deux cinquièmes des concurrents. Personne n'a résolu les 6 problèmes. Montrer qu'au moins deux concurrents ont résolu, chacun, exactement 5 problèmes.

ébauche de solution...
> Soit n le nombre de candidats.
Supposons que chaque candidat ait résolu 4 problèmes.
Comme il y a 6 pbs, il existe 15 paires de pbs différentes, et chaque candidat a réussi 6 paires de pbs différentes.
Supposons également que les candidats aient réussi les pbs de la manière la plus répartie possible. (Imaginons un tableau a 15colonnes correspondantes aux 15 paires de pbs différentes : on suppose que la différence de valeur entre la plus petite colonne et la plus grande n'excède pas 1).
Il est clair que la valeur dans la plus petite colonne (c)est donnée apr la relation :

c = E( 6n/15) . Il s'ensuit que E(6n/15) <= 6n/15 soit (E(6n/15)/n<= 2/5

contradiction. L'hypothèse de départ étant fausse, on en déduit qu'il existe au moins 1 candidat ayant réussi 5 pbs.
Or un candidat ayant résolu 5 pbs a réussi 10 paires de pbs différentes
Mais pour n = 3 , E((6+6+10)/15)=E(22/15)=1 et 1/3< 2/5
Contradiction : 1 est insuffisant

Montrons que 2 est suffisant.
Pour n=2 . 16>15 et 1/2> 2/5 : les conditions de l'énoncé sont vérifiées

Supposons qu'il existe n tel que (E(6(n-2)+20)/15)/n > 2/5

Pour n+1, il vient (E(6(n-1)+20)/15) ? (2n+2)/5
en simplifiant pas 5 puis par 3 il vient : E ( 6n +14) / 3 ? 2n + 2 puis E ( 2n +14/3) ? 2n+2
Or E( 2n +14/3) = 2n+ E( 14/3) = 2n + 4 . O il est clair que pour tout n, 2n+4 >2n + 2
d'où ? = > ce qui achève la récurrence.
on a donc montré que 2 est suffisant. <

Est-ce que quelqu'un est d'accord ???
ce n'est qu'une ébauche de solution ...
qqn a t-il une démonstration ultra rigoureuse pour ce pb?
Revenir en haut
Montrer les messages depuis:   
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques olympiques Toutes les heures sont au format GMT + 2 Heures
Page 1 sur 1

 
Sauter vers:  
Vous ne pouvez pas poster de nouveaux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas éditer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas supprimer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas voter dans les sondages de ce forum


Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Traduction par : phpBB-fr.com