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Colles en MP*4
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 23 Sep 2005, 9:13    Sujet du message: Colles en MP*4 Répondre en citant

C'est parti...

Soit p un nombre premier, m, n \in N, i<p, j<p. Montrer que C(mp+i;np+j)=C(m;n)C(i;j) mod p.
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tµtµ
Invité





MessagePosté le: 23 Sep 2005, 12:52    Sujet du message: Répondre en citant

Salut,


C'est pas le théorème de Lucas, bien connu, cf gIgamaTh A-2005 p. mmcii ?


Il y a une preuve avec les fonctions génératrices qui trivialise le truc Twisted Evil
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 23 Sep 2005, 18:32    Sujet du message: Répondre en citant

Mouais... je veux bien la voir la preuve avec les fonctions génératrices Very Happy
_
antony, qui regarde dans Z/pZ[X]...
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 23 Sep 2005, 19:15    Sujet du message: Répondre en citant

C'est fait dans le poly d'arithmétique.
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 23 Sep 2005, 20:46    Sujet du message: Colles de Maths en MP*2 Répondre en citant

Première colle :
premier exo : Soit s entier non nul, a entier non puissance de 10. Montrer qu'il existe une puissance (entière, positive) de a qui commence par s en écriture décimale.
deuxième exo : Soit, pour n\in IN, x_n tel que x_n+ln(x_n)=n. Montrer l'existence et l'unicité de la suite des x_n, puis développement asymptotique jusqu'à la fin de l'heure...

Deuxième colle :
premier exo : Trouver toutes les fonctions f:IR->IR, dérivables en 0, telles que, pour tout réel x, f(2x)=2f(x)/(1+f(x)²) (et vive la trigo. hyperbolique !)
deuxième exo : Soit n entier naturel non nul, f : [0;1]->[0;1] continue telle que f^n=Id (^ pour la composition). Montrer : f^2=Id.
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal


Dernière édition par Thibaut le 24 Sep 2005, 12:19; édité 1 fois
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 23 Sep 2005, 20:56    Sujet du message: Répondre en citant

Deuxième colle :
Ben 2 c'est le plus grand entier naturel (excepté 1) dans l'ordre de Sarkovskii, donc bon....
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 23 Sep 2005, 20:58    Sujet du message: Répondre en citant

Oui, bon...
_________________
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xavier
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 23 Sep 2005, 22:35    Sujet du message: Répondre en citant

pierre a écrit:
Deuxième colle :
Ben 2 c'est le plus grand entier naturel (excepté 1) dans l'ordre de Sarkovskii, donc bon....

Hum, vois pas trop comment tu conclus ensuite mais bon...

Voici ma solution : déjà f est bijective (d'inverse f^(n-1)), et donc strictement monotone (j'imagine que f est continue parce que sinon, c'est faux). On en déduit que g=f^2 est croissante.
Soit x dans [0,1]. La suite (u_n) définie par u_0=x et u_(n+1)=g(u_n) est monotone. Mais elle est aussi périodique, et donc constante. Finalement g(x)=x.
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tµtµ
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MessagePosté le: 24 Sep 2005, 9:02    Sujet du message: Répondre en citant

pierre a écrit:
C'est fait dans le poly d'arithmétique.



A croire que personne ne l'a lu Evil or Very Mad


-----------

Que on attend le tome II et III 8)
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
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MessagePosté le: 24 Sep 2005, 12:26    Sujet du message: Répondre en citant

xavier a écrit:
Voici ma solution : déjà f est bijective (d'inverse f^(n-1))
Pas de doute là dessus.
xavier a écrit:
et donc strictement monotone (j'imagine que f est continue parce que sinon, c'est faux)
Exact, elle est continue, j'avais oublié de l'ajouter. Le problème est que la stricte monotonie d'une bij. continue d'un segment de IR vers un autre n'est pas du cours, que donc il faut la refaire, et que ça prend un certain temps...
Xavier a écrit:
On en déduit que g=f^2 est croissante.
Certes, et même strictement.
Xavier a écrit:
Soit x dans [0,1]. La suite (u_n) définie par u_0=x et u_(n+1)=g(u_n) est monotone. Mais elle est aussi périodique, et donc constante. Finalement g(x)=x.
Moui, ça évite a distinguer des cas...
J'ai procédé comme suit : si f stt croissante, alors si f(x)>x, x=f^n(x)>x, contradiction, et de même si f(x)<x, donc f(x)=x, et f=Id et g=Id...
Si f stt décroissante, alors n est pair, et f^n=g^(n/2), et on est ramené au cas précédent car g stt croissante.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 27 Sep 2005, 20:30    Sujet du message: Répondre en citant

Allez hop !

Soient a_1,...,a_n entiers relatifs deux à deux distincts. Montrer que (X-a_1)...(X-a_n)-1 est irréductible dans Z[X].

Soit P de R[X] scindé de degré n dont toutes les racines sont >1. Montrer que (1+X^2)PP'+X(P^2+P'^2) admet au moins 2n-1 racines réelles.
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xavier
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 27 Sep 2005, 21:05    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:
Soient a_1,...,a_n entiers relatifs deux à deux distincts. Montrer que (X-a_1)...(X-a_n)-1 est irréductible dans Z[X].


Je note A(X)=(X-a_1)...(X-a_n). Et je suppose que A(X) = P(X)Q(X) + 1.
Alors comme A(a_i)=0, j'ai P(a_i)*Q(a_i)=-1 et donc l'un des facteurs vaut 1 et l'autre -1. Je note I l'ensemble des indices i pour lesquels P(a_i)=1, B(X) le produit des (X-a_i) pour i dans I et C(X) le produit des autres (X-a_i). Alors B(X) divise P(X)-1 et C(X) divise Q(X)-1, d'où on déduit que A(X) divise :
(P(X)-1)(Q(X)-1) = P(X)Q(X) - P(X) - Q(X) + 1 = A(X) - (P(X)+Q(X))
Et donc A(X) divise P(X)+Q(X). Mais en comparant les degrés (en en supposant P et Q des diviseurs stricts), on voit que la seule solution est d'avoir P(X)+Q(X)=0. Ainsi A(X)-1=-P(X)^2. Mais A(X) tend vers +infty en l'infini et donc A(X)-1 ne peut demerer toujours négatif.
Voili voulou.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 27 Sep 2005, 22:03    Sujet du message: Répondre en citant

Tu peux simplifier la partie du milieu en remarquant que P et -Q sont de degré < n et coincident en n points (les a_i), donc P=-Q.
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xavier
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 27 Sep 2005, 22:27    Sujet du message: Répondre en citant

Ah ouais, pas mal.
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 28 Sep 2005, 7:09    Sujet du message: Répondre en citant

Oui, mais bon, celui-là il traine vraiment partout....
Un peu moins usé :

Même exo pour:
P(x) = 1 + [ (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n) ]^2
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xavier
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 28 Sep 2005, 10:33    Sujet du message: Répondre en citant

pierre a écrit:
Oui, mais bon, celui-là il traine vraiment partout....

Oui, ben, oui, j'étais quand même content de l'avoir trouvé, na !

pierre a écrit:
Même exo pour:
P(x) = 1 + [ (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n) ]^2

On passe dans Z[i] ? Wink
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 30 Sep 2005, 16:42    Sujet du message: Colles en MP*2 Répondre en citant

Colle 3 (avec M. Boudine) :

Exo 1 : Soit f : IR+->IR uniformément continue. Montrer qu'il existe (a,b)\in (IR+)² tel que : \forall (x,y)\in (IR+)², |f(x)|<ax+b (quasi-cours).
Soit f : IR+->IR+, admettant +oo comme limite en +oo.
Montrer qu'il existe g IR+->IR+, continue mais pas uniformément, croissante, et majorée par f.

Exo 2 : Soit f : IR->IR de classe Cinfty, telle que \forall x\in IR, \exists n\in IN, f_n(x)=0 où f_n est la dérivée n-ième de f.
Montrer que f est polynômiale.
Il est chaud, c'ui-là, ... Je donne pas les indices, Pierre ou Xavier s'en chargera...
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MessagePosté le: 30 Sep 2005, 17:10    Sujet du message: Répondre en citant

Exo 2 : un peu de Baire pour faire passer ....


---------------

Que pffff, la vache, pas évident en colle quand même
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 30 Sep 2005, 17:26    Sujet du message: Répondre en citant

Ouais, mais ça suffit pas...
Heureusement qu'on l'avait fait le matin même (au passage, c'est la première fois que je vois une preuve de non-dénombrabilité de IR qui n'utilise pas d'argument diagonal...)
_________________
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Dernière édition par Thibaut le 30 Sep 2005, 20:07; édité 2 fois
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antony
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MessagePosté le: 30 Sep 2005, 17:48    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:

Soit P de R[X] scindé de degré n dont toutes les racines sont >1. Montrer que (1+X^2)PP'+X(P^2+P'^2) admet au moins 2n-1 racines réelles.


Bon, je mets l'énoncé exact, ça sera peut-être mieux...

Soit P de R[X] scindé à racines simples de degré n dont toutes les racines sont >1. Montrer que (1+X^2)PP'+X(P^2+P'^2) admet au moins 2n-1 racines réelles distinctes.

(en fait ça ne change pas grand chose Very Happy mais bon)
(indice : factoriser le machin immonde)
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