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Auteur Message
Daniel
Matheux (se)


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MessagePosté le: 26 Mai 2006, 14:02    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:

*Trouver l'adhérence de l'ensemble des matrices diagonalisables réelles dans Mn(R).

antony a écrit:
xavier a écrit:
C'est pas un truc du genre les matrices qui n'ont que des valeurs propres reelles ?


Oui.

Effectivement, et voici ma preuve pour ce truc :
Alors déjà, une telle matrice est trigonalisable dans R, donc on peut supposer qu'elle est triangulaire avec pour valeurs propres lambda_1, ..., lambda_n. On prend alors la même matrice, sauf que les éléments diagonaux sont lambda_1 + 1/p, ..., lambda_n + 1/(p^n), p entier. Pour p assez grand ces matrices auront des valeurs propres différentes, donc sont diagonalisables sur R et tendent vers notre matrice. Pour l'autre implication, supposons que les P_k sont diagonalisables sur R et convergent vers P. Soit f_k le polynôme caracteristique de P_k, qui est scindé. Clairement, f_k converge simplement sur C vers f, polynôme caracteristique de P.
On utilise alors le lemme suivant (exercice laissé au soin du lecteur! - à faire en moins d'1 min. ;)) :
Un polynôme unitaire f est scindé sur R ssi |f(z)| >= |Im(z)|^{deg(f)}, pour tout z.
On applique le lemme à f_k puis à f et on conclut : f est scindé, conclusion.
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Daniel
Matheux (se)


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MessagePosté le: 26 Mai 2006, 17:40    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:

Tiens, quelqu'un me trouverait une fonction telle que sa transformée de Laplace est définie sur C mais telle que l'intégrale qui la définit est impropre, indépendamment de p ?


Désolé, mais je ne comprends pas ce que tu demandes.. Embarassed
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Daniel
Matheux (se)


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MessagePosté le: 26 Mai 2006, 17:50    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:

Deuxième exo :
Soit N norme sur M_n(IR).
Montrer qu'il existe r>0 tel que, pour tout G sous-groupe de GL_n(IR), diam G<r => G={I}.

Valeur optimale : sqrt(3). ;)
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 26 Mai 2006, 22:41    Sujet du message: Répondre en citant

Soit f : IR*+->C continue par morceaux.
On définit la transformée de Laplace L(f) par :
L(f)(p) = Int{t=0...+oo} f(t).e^(-p.t).dt lorsque l'intégrale converge.
Je chercherai f telle Int{t=0...+oo} f(t).e^(-p.t).dt est une intégrale impropre pour tout p\inC.
Et puis, tiens, si tu me trouves f, x, y tels que :
L(f)(x) existe
L(f)(y) n'existe pas.
Re(x)<Re(y),

je suis preneur.
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Antoony
Invité





MessagePosté le: 26 Mai 2006, 23:31    Sujet du message: Répondre en citant

Daniel a écrit:
Thibaut a écrit:

Tiens, quelqu'un me trouverait une fonction telle que sa transformée de Laplace est définie sur C mais telle que l'intégrale qui la définit est impropre, indépendamment de p ?


Désolé, mais je ne comprends pas ce que tu demandes.. Embarassed


Moi non plus, et lui non plus sans doute, mais il suffit de faire semblant.
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 06 Juin 2006, 17:25    Sujet du message: Répondre en citant

Oral blanc :
On étudie le système différentiel
(E) : ( x , y ) ' = ( y*(1-x) , x*(y-1) ).

* Trouver les solutions particulièrement simples.
* Trouver F : IR²->IR de classe C^1 telle que pour tout solution (x,y), t->F(x(t),y(t)) est constante (une intégrale première, comme on dit...)
* Montrer que les solutions sont périodiques, sauf quelques solutions particulières. Exprimer la période en fonction de x(0), y(0).
* Représentation graphique de tout ça dans l'espace des phases.

Note : Beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeerk !
C'est vraiment infâme. Enfin, sauf la période... qui est carrément immonde.

La prof. a d'ailleurs avoué qu'elle m'avait refilé l'exo. le plus pourrave qu'elle ait dégotté (et qui a été donné aux ENS).
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thn
Matheux (se)


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MessagePosté le: 06 Juin 2006, 18:07    Sujet du message: Répondre en citant

ça vient de cachan, on vient de le refaire dailleurs vu qu'on l'avait fait en cours.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 06 Juin 2006, 20:26    Sujet du message: Répondre en citant

Djafé aussi.
Aujourd'hui, François Charles m'a posé son oral d'Ulm. Pas infaisable, mais assez délirant...

Soit G un sous-groupe abélien fini de GLn(C). G agit sur C(X_1,...X_n) par F^g(X_1,...,X_n)=F(g(X_1,...,X_n)) (en gros, par l'action canonique sur le vecteur des indéterminées). Soit K le corps formé des fractions rationelles stables par tous les éléments de G. Montrer qu'il est isomorphe à C(X_1,...X_n). [théorème de Fischer]

D'ailleurs, si quelqu'un connait une application, je suis preneur.
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xavier
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 06 Juin 2006, 20:31    Sujet du message: Répondre en citant

Là, comme ça, je sais pas... mais c'est un des premiers résultats fondamentaux de la théorie des invariants, et c'est super important.

--
Xavier, qui devrais apprendre plus en détails cette théorie.
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antony
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MessagePosté le: 06 Juin 2006, 20:46    Sujet du message: Répondre en citant

Si connais des références dessus, ça m'intéresse.
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Staline
Invité





MessagePosté le: 06 Juin 2006, 22:06    Sujet du message: Répondre en citant

Je rappelle à Antony que le culte de la personnalité n'est acceptable que pour moi. Ce François Charles n'est qu'un minable dont tout le monde se fout. La prochaine fois je t'envoie au goulag Evil or Very Mad
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Daniel
Matheux (se)


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MessagePosté le: 08 Juin 2006, 18:27    Sujet du message: Répondre en citant

abbesanchez a écrit:

-f(f(x)) = 6x-f(x) (cf.exo proposé à l'OIM 92 mais pas dur)


On prend a_n = f(f(f...f(x)...)). (n fois)
On a alors : a_n = c_1 x^n + c_2y_^n, y>x. Il est assez facile de voir que a_n>0 ==> c_2 = 0. Maintenant on peut voir que la seule solution est f(x) = c_1x. c_1 peut être déterminée.
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Daniel
Matheux (se)


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MessagePosté le: 08 Juin 2006, 18:50    Sujet du message: Répondre en citant

abbesanchez a écrit:

-f bijection de N dans N avec f(n)/n convergente. Mq sa limite=1.

Il est évident que l'on a lim <1, sinon on a f(n) \ge (1 + \epsilon)n pour n suffisamment grand; et alors f(n)>n+1, d'où f(1), f(2), ..., f(n-1) s'identifie à l'ensemble 1, 2, ..., n, mais ces ensembles n'ont pas le même nombre d'éléments.
Pour montrer que lim \ge 1, en supposant le contraire, on aurait f(n) \le a*n avec a<1 pour n>n_0.
Posons m = max{f(1),f(2),....f(n_0)}.
On aurait : f(1), f(2), ..., f(n_0), f(n_0+1), f(n_0+2), ..., f(n) \le a*n pour n \ge m/a.
Cela veut dire qu'il y a n nombres inférieurs à a*n \le n-1.
D'où la conclusion. :)
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abbesanchez
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MessagePosté le: 09 Juin 2006, 1:38    Sujet du message: Répondre en citant

les colles de début d'année de sup, ça serait tellement bien si on avait la même chose l'an prochain Very Happy
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 12 Juin 2006, 19:42    Sujet du message: Répondre en citant

Tiens, quelqu'un sait montrer qu'un tétraèdre est orthocentrique ssi ses arêtes opposées sont deux à deux prthogonales ?
Sinon, j'ai fait un exo (ou lu sa solution...) qui est marrant, cet après-midi :
Soient P, Q deux polynômes complexes tels que P^-1(0)=Q^-1(0) et P^-1(1)=Q^-1(1). Montrer que P=Q.

Et tant qu'on y est, est-ce que quequ'un connaît une méthode élémentaire pour montrer que si x(0)=4, x(1)=x(2)=0, x(3)=3 x(n+4)=x(n)+x(n+1), alors pour tout p premier, p divise x(p) ?
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 16 Juin 2006, 22:57    Sujet du message: Répondre en citant

C'est quoi un tétraèdre orthocentrique ?


Thibaut, qui :
Soit A€M_n(IK), diagonalisable ou inversible.
Résoudre :
{M'(t)=M²(t)
{M(0)=A

Soit A€M_n(C).
Montrer que A€C[e^A] ssi \forall x,y€Sp(A), x-y€2piZ => x=y.

J'ai une preuve convaincante pour le cas où A n'a qu'une seule valeur propre, mais le prof. ne m'a pas laisser chercher à généraliser pour une matrice quelconque. Et sa méthode... Je n'y capte à peu près rien.
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antony
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MessagePosté le: 17 Juin 2006, 8:08    Sujet du message: Répondre en citant

Un tétraèdre orthocentrique est un tétraèdre dont les hauteurs (abaissement d'un sommet sur la face opposée orthogonalement à cette dernière) sont concourrantes.
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Daniel
Matheux (se)


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MessagePosté le: 17 Juin 2006, 12:59    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:

Et tant qu'on y est, est-ce que quequ'un connaît une méthode élémentaire pour montrer que si x(0)=4, x(1)=x(2)=0, x(3)=3 x(n+4)=x(n)+x(n+1), alors pour tout p premier, p divise x(p) ?

J'imagine que tu ne veux pas la preuve habituelle, considérant les racines de l'équation caractéristique modulo p et je ne sais trop quoi?

Thibaut a écrit:

Soit A€M_n(C).
Montrer que A€C[e^A] ssi \forall x,y€Sp(A), x-y€2piZ => x=y.

A € C[e^A], ça veut dire que A peut être écrite comme un polynôme complexe évalué en e^A?
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Thibaut
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MessagePosté le: 17 Juin 2006, 16:07    Sujet du message: Répondre en citant

Tout à fait.
Ou alors tu dis que C[e^A] est la sous-algèbre de M_n(C) engendrée par e^A, et montres que ça revient au même.
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antony
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MessagePosté le: 17 Juin 2006, 16:33    Sujet du message: Répondre en citant

Daniel a écrit:
antony a écrit:

Et tant qu'on y est, est-ce que quequ'un connaît une méthode élémentaire pour montrer que si x(0)=4, x(1)=x(2)=0, x(3)=3 x(n+4)=x(n)+x(n+1), alors pour tout p premier, p divise x(p) ?

J'imagine que tu ne veux pas la preuve habituelle, considérant les racines de l'équation caractéristique modulo p et je ne sais trop quoi?
Si tu as besoin de prendre un surcorps de Z/pZ où le polynôme est scindé, je ne considèrerai pas ça comme élémentaire... Wink
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