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Auteur Message
Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
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MessagePosté le: 25 Sep 2007, 16:05    Sujet du message: Répondre en citant

Bon je propose de ressusciter ce topic, on verra bien si d'autres taupins répondent (enfin les autres peuvent répondre aussi mais alors c'est de la triche (surtout les PTBD Mr. Green)).
Soit [tex:73a2ff89f8]q \in \mathbb{N^*}[/tex:73a2ff89f8], [tex:73a2ff89f8]\mathbb{F}_q = \{a_1, ..., a_q\}[/tex:73a2ff89f8] corps.
1) Que peut-on dire de [tex:73a2ff89f8]q[/tex:73a2ff89f8] ?
2) Développer [tex:73a2ff89f8](x - a_1) \ldots (x - a_q)[/tex:73a2ff89f8].
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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certus2007
Être humain normal


Inscrit le: 18 Sep 2007
Messages: 12

MessagePosté le: 25 Sep 2007, 18:58    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Oral blanc :
On étudie le système différentiel
(E) : ( x , y ) ' = ( y*(1-x) , x*(y-1) ).

* Trouver les solutions particulièrement simples.
* Trouver F : IR²->IR de classe C^1 telle que pour tout solution (x,y), t->F(x(t),y(t)) est constante (une intégrale première, comme on dit...)
* Montrer que les solutions sont périodiques, sauf quelques solutions particulières. Exprimer la période en fonction de x(0), y(0).
* Représentation graphique de tout ça dans l'espace des phases.

.


Bonjour
solution simple x=1, y=1 par exemple

pour F on intègre y/(y-1)dy = x/(1-x)dx

j'ai pas d'idée pour montrer que les solutions sont périodiques
et surtout pour exprimer la période à l'aide x(0) et y(0)

Peut-on avoir quelques indications ? merci
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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Messages: 2176
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MessagePosté le: 25 Sep 2007, 19:31    Sujet du message: Répondre en citant

Une fois qu'on a une intégrale première, il suffit en gros de vérifier que les lignes de niveau sont compactes...
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 25 Sep 2007, 19:43    Sujet du message: Répondre en citant

Intuitivement, quand on représente la courbe paramétrée [tex:8afdaa30ba]t \mapsto (x(t),y(t))[/tex:8afdaa30ba] d'une solution, on voit qu'elle tourne. D'après l'intégrale première trouvée ci-dessus, on sait de plus que c'est le long d'une courbe de niveau de [tex:8afdaa30ba]F[/tex:8afdaa30ba].

En étudiant [tex:8afdaa30ba]F[/tex:8afdaa30ba] (il peut être utile de donner un nom à [tex:8afdaa30ba]x \mapsto x \exp (-x)[/tex:8afdaa30ba] et aux réciproques de ses restrictions sur deux intervalles bien choisis), on montre aisément que ces courbes de niveau sont bornées, et on détermine [tex:8afdaa30ba]x_{\min}, x_{\max}, y_{\min}, y_{\max}[/tex:8afdaa30ba] associés à [tex:8afdaa30ba](x(0), y(0))[/tex:8afdaa30ba].

Ensuite, on recouvre la courbe à l'aide de quatre de ses morceaux : le "haut", le "bas", la "gauche" et la "droite". Puis on montre que, sur la partie "haute", on se "déplace" "vers la droite", et on atteint "l'extrémité droite" en "temps" fini (que l'on exprimera à l'aide d'une intégrale), que sur la partie "droite", on se "déplace" "vers le bas", et on atteint "l'extrémité inférieure" en "temps fini", ... (si je me suis planté de sens de rotation, inverser ce qu'il faut pour que ça marche).
La période est la somme du "temps" pour "aller" de "tout à gauche" à "tout à droite" et "revenir", c'est aussi le "temps" de "faire un aller-retour" "verticalement", on peut donc l'écrire de deux manière comme somme de deux intégrales. La période ne dépend bien sûr que de [tex:8afdaa30ba]F(x(0),y(0))[/tex:8afdaa30ba].
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certus2007
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MessagePosté le: 31 Oct 2007, 13:50    Sujet du message: Répondre en citant

Peut avoir d'autres exos de colles mp* de Mr.Duval, de Mr.Dospinescu ?
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wiat
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MessagePosté le: 11 Nov 2007, 20:49    Sujet du message: Répondre en citant

Colles de MP* de M. Dospinescu, ça risque d'être dur étant donné qu'il colle en MPSI2...
Et sinon, pourquoi de M. Duval en particulier?
Enfin, voilà l'exo de ma première colle (avec Duval)
soit G un groupe fini et p un nombre premier divisant |G|, montrer que G a un sous-groupe d'ordre p.
Wiat, que Jilloux, t'avais pas le droit de ressuciter le topic parce que t'es pas un MP*4 d'abord :p
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Vian
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Igor
Taupin(e) ou équivalent


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MessagePosté le: 11 Nov 2007, 21:40    Sujet du message: Répondre en citant

Et pour prolonger l'exo: soient p un nombre premier et k un entier tels que p^k divise |G|. Montrer que G a un sous-groupe d'ordre p^k.

Mais ça devient encore plus hors programme...

Igor, qui a justement un partiel d'algèbre cette semaine et qui a révisé ses Sylow ^^.
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wiat
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MessagePosté le: 11 Nov 2007, 21:51    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, hors programme comment? Smile (savoir si ça sert à quelque chose que j'y réfléchisse ou pas...)
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 11 Nov 2007, 21:51    Sujet du message: Répondre en citant

wiat a écrit:
soit G un groupe fini et p un nombre premier divisant |G|, montrer que G a un sous-groupe d'ordre p.
Ça a pas un rapport avec les sous-groupes distingués ?

wiat a écrit:
Wiat, que Jilloux, t'avais pas le droit de ressuciter le topic parce que t'es pas un MP*4 d'abord :p
ressusciter Razz. Comment t'as vu que je l'ai ressuscité ? J'ai un posté un message et l'ai supprimé dans les 5 minutes...
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wiat
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 11 Nov 2007, 22:04    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, c'était en réponse au message de septembre en fait...
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Vian
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 11 Nov 2007, 22:15    Sujet du message: Répondre en citant

Ah, coïncidence alors Mr. Green
Et pour les sous-groupes distingués, ça a un rapport ou pas du tout ?
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Tom
Matheux (se)


Inscrit le: 14 Aoû 2007
Messages: 238

MessagePosté le: 11 Nov 2007, 22:52    Sujet du message: Répondre en citant

wiat a écrit:

Enfin, voilà l'exo de ma première colle (avec Duval)
soit G un groupe fini et p un nombre premier divisant |G|, montrer que G a un sous-groupe d'ordre p.
Juste pr savoir, avec ou sans indication ?
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 12 Nov 2007, 0:20    Sujet du message: Répondre en citant

wiat a écrit:
Euh, hors programme comment? Smile (savoir si ça sert à quelque chose que j'y réfléchisse ou pas...)
C'est au programme d'Algèbre I en première année à l'Éns (soit niveau L3). Et c'est pas trivial...
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wiat
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MessagePosté le: 12 Nov 2007, 21:33    Sujet du message: Répondre en citant

D'accord, inutile de perdre mon temps à chercher Smile.
Sinon pour l'exo, l'indication était : traiter le cas n=2 et voir si ça nous inspire Smile.
M'enfin, pour le cas général, il m'a conseillé de considérer l'ensemble des p-uplets de G (x1,x2,...,xp) tels que x1.x2....xp=e.
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Vian
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strife2
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MessagePosté le: 12 Nov 2007, 21:39    Sujet du message: Répondre en citant

Et tu l'as torché ?
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Igor
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MessagePosté le: 14 Nov 2007, 0:30    Sujet du message: Répondre en citant

wiat a écrit:
Euh, hors programme comment? Smile (savoir si ça sert à quelque chose que j'y réfléchisse ou pas...)


Ben euh, disons que la solution que je connais consiste à écrire l'équation aux classes pour l'action du groupe sur lui même par automorphismes intérieurs, et à bidouiller pour réussir à faire une récurrence (l'initialisation étant faite par le problème initial Smile).
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antony
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MessagePosté le: 14 Nov 2007, 9:32    Sujet du message: Répondre en citant

Tiens, j'ai donné en colle la semaine dernière : Montrer la formule des classes, et montrer que le centre de tout p-groupe est non nul. L'exo a été torché... en même temps j'étais prévenu, c'était le major de la classe.
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Salque
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MessagePosté le: 14 Nov 2007, 18:18    Sujet du message: Répondre en citant

Tu colles où ?
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Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait.
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antony
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MessagePosté le: 14 Nov 2007, 19:05    Sujet du message: Répondre en citant

En MP* à Pasteur, où est Taieb maintenant.
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wiat
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MessagePosté le: 15 Nov 2007, 22:15    Sujet du message: Répondre en citant

Tu colles sa classe?
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Vian
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