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metalogik
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 1779
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MessagePosté le: 07 Oct 2005, 18:36    Sujet du message: Répondre en citant

colle aujourd'hui (François Charles)
1) Mq Det en tant que polynôme en les n² entrées d'une matrice est irréductible

2) Mq GLn(C) et GLm(C) ne sont pas isomorphes si m =/=n

plutôt facile, le 2) à généraliser pour un corps de caractéristique =/= 2
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Raph
Tendance maths et délires inquiétante


Inscrit le: 27 Juin 2005
Messages: 183

MessagePosté le: 07 Oct 2005, 21:43    Sujet du message: Répondre en citant

J'aurais une petite question de base à vous poser:

Que veut dire morphisme et que veut il dire avec tous ses préfixes (iso, homéo, difféo...)? Confused Rolling Eyes

Merci
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Overlord
Être mi-geek mi-globzoule


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 2446
Localisation: Belgique, Louvain-La-Neuve, Bâtiment des Fous.

MessagePosté le: 07 Oct 2005, 22:07    Sujet du message: Répondre en citant

je sais pas très bien...
je dirais qu'un morphisme c'est en gros une application d'un ensemble vers un autre
(j'ai jamais rencontré morphisme tout seul donc si qqun a une vraie déf)

homomorphisme : morphisme préservant la structure (exemple : groupe : f(x*y)=f(x)¤f(y) si f:groupe(G,*)->(H,¤))
endomorphisme : morphisme d'une structure vers elle-meme
isomorphisme : bijectif
automorphisme : endo et iso
homéomorphisme : continu et d'inverse continu
difféomorphisme de classe Ck : de classe Ck et d'inverse de classe Ck (si pas précisé : k=1)

puis y en a d'autres (épi et mono j'ai déjà entendu mais je sais plus ce que c'est)
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- Ceux qui vont sourire à cette blague parce qu'ils connaissent le binaire
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
Messages: 427
Localisation: paris

MessagePosté le: 07 Oct 2005, 22:36    Sujet du message: Répondre en citant

Y a une défintion rigoureuse. La notion de catégorie (qui correspond à la structure) en est à la base. L'idée c'est qu'une catégorie c'est une collection d'objets tels que :
-si X et Y sont deux des objets on a un ensemble caractérisant (X,Y) qui est Mor (X, Y)
- il y a une loi de composition de Mor(X, Y)*Mor(Y, Z) dans Mor (X, Z) si X, Y, X sont trois des objets.
On doit avoir Mor(X, Y) et Mor (X', Y') disjoints dès que (X, Y) différent de (X', Y'). On a aussi un élément i de Mor (X, X) (l'identité) qui sert d'"élément neutre" ie la composé de i et de f = f si f dans Mor (X, Y) et la composé de f et de i... Aussi, la composition est associative.
Alors : Mor(X, Y) est l'ensembledesmorphismes de X dns Y.
P.S : une autre catégorie toute bête est celle des ensembles : un morphisme (ici c'est une fonction f) de X dans Y est tel que, si (x,y) dans X² alors x élément de y ssi f(x) élément de f(y).
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Overlord
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Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 2446
Localisation: Belgique, Louvain-La-Neuve, Bâtiment des Fous.

MessagePosté le: 07 Oct 2005, 23:05    Sujet du message: Répondre en citant

(vi, mais ici (càd à l'ucl), la théorie des catégories, c'est un cours optionnel qui commence qu'en février, et je l'ai pas choisi (déjà full) (quoique je pourrai pe squatter par curiosité vu que j'ai rien à cette heure))
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 07 Oct 2005, 23:25    Sujet du message: Répondre en citant

Une marrante :
Soit G une sous-groupe fini de GL2(R) ne contenant que des matrices à coeffients entiers. Montrer que pour M de G, M^12=I.


Dernière édition par antony le 08 Oct 2005, 19:25; édité 1 fois
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Invité






MessagePosté le: 08 Oct 2005, 1:45    Sujet du message: Répondre en citant

Résoudre dans S_{8} groupe symétrique à 8 éléments l'équation

$x^{2} = (1234)(5678)$
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 08 Oct 2005, 8:05    Sujet du message: Répondre en citant

Overlord : morphisme tout court = homomorphisme, m'a-t-on dit...

Overlord, encore : ucl, kèsako ?

Antony: Surprenant...

Invité : peux-tu éclaircir les notations ?

Thibaut, qui a colle demain, vous aurez donc les prochains exos...

En attendant, voici les titres des vingt premiers chapitres de cours :
Réels (révisions)
Espaces vectoriels normés
Suites dans un evn
Comparaison des suites
Suites de réels (révisions)
Suites récurrentes (révisions)
Topologie définie par une distance
Convexes
Limites
Fonctions continues
Applications linéaires continues
Applications bilinéaires continues (Y a d'l'abus, là...)
Compacité
Continuité uniforme
Espaces complets
Evn de dimension finie
Topologie dans Mn(IK)
Projection sur un convexe
Connexité par arcs
Séries dans un evn
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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Invité






MessagePosté le: 08 Oct 2005, 10:25    Sujet du message: Répondre en citant

Salut,

>>G une sous-groupe fini de M2(R)

Euh, pour quelle loi ? c'est pas plutôt de GL_2 ?

Juste pour le plaisir tout court :

Si c'est GL, déjà det(A) = +-1, un coup de Caley Hamilton avec une récurrence pour exprimer A^n => A=+-I ou tr(A) = 0, 1 ou -1.
Après c'est fini Twisted Evil


>> $x^{2} = (1234)(5678)$

(1234) ça doit être le cycle (1234) -> (2341) ?


>> isomorphisme : bijectif

Juste pour le plaisir de pinailler : bijectif + f^-1 est un (homo-)morphisme aussi.

>> epimorphisme, mono

Juste pour le plaisir de ramener ma fraise : epi = surjectif = simplifiable à droite, mono = injectif = simplifiable à gauche
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tµtµ
Invité





MessagePosté le: 08 Oct 2005, 10:53    Sujet du message: Répondre en citant

>> ) Mq GLn(C) et GLm(C) ne sont pas isomorphes si m =/=n

(Z/2Z)^n ;)

Et GLn(IR) ?


Avec le même principe de démo (toutes diagonalisables bla bla), il y a un exo très joli :

Un sous-groupe d'exposant fini de GL_n(C) est forcément fini.
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Raph
Tendance maths et délires inquiétante


Inscrit le: 27 Juin 2005
Messages: 183

MessagePosté le: 08 Oct 2005, 11:07    Sujet du message: Répondre en citant

Merci pour les explications sur les morphismes :)
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metalogik
Mathématicien(ne)


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Messages: 1779
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MessagePosté le: 08 Oct 2005, 14:14    Sujet du message: Répondre en citant

tµtµ a écrit:
>> ) Mq GLn(C) et GLm(C) ne sont pas isomorphes si m =/=n

(Z/2Z)^n ;)

Et GLn(IR) ?


Avec le même principe de démo (toutes diagonalisables bla bla), il y a un exo très joli :

Un sous-groupe d'exposant fini de GL_n(C) est forcément fini.


sur C, ya une démo avec des matrices unipotentes (M^n=I)
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Repos.
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Overlord
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MessagePosté le: 08 Oct 2005, 14:30    Sujet du message: Répondre en citant

ucl := université catholique de louvain-la-neuve.
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antony
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MessagePosté le: 08 Oct 2005, 19:26    Sujet du message: Répondre en citant

Oui, c'est GL2(R), me suis planté... par contre tu peux préciser ta démo, invité ?
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tµtµ
Invité





MessagePosté le: 08 Oct 2005, 22:35    Sujet du message: Répondre en citant

L'invité c'était moi ....

$A² = tr(A)A +- I$
On peut exprimer $A^n$ comme polynome en A,tr(A) et I, avec comme coeff de d°0 = 1 ou -1. Comme A^n = I ça donne ou bien A = k*I = +-I ou bien tr(A) est racine d'un polynome avec un bonne tête, que je laisse au lecteur ;). Comme tr(A) est entier ....

Tu as fait comment toi ?
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tµtµ
Invité





MessagePosté le: 08 Oct 2005, 22:38    Sujet du message: Répondre en citant

Chuis c*n, y'a pas de Latex ici
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
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MessagePosté le: 08 Oct 2005, 23:34    Sujet du message: Répondre en citant

Un truc complètement différent :
M est diagonalisable sur C (car annulé par X^n-1 scindé simple sur C). Si on note l, m ses vp on a l^n=m^n=1 ; comme ce sont les racines d'un polynôme de degré 2 à coeffs entiers, ils sont de module 1 et conjugués. De plus leur somme est entière (= TrM) donc dans {e^ipi/3, i, e^2ipi/3, e^-2ipi/3, -i, e^-ipi/3}. Dans tous les cas, l^12=m^12=1.
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tµtµ
Invité





MessagePosté le: 09 Oct 2005, 8:55    Sujet du message: Répondre en citant

Ah ouais, c'est nettement plus malin ta solution Embarassed
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 09 Oct 2005, 11:39    Sujet du message: Répondre en citant

C'est quoi les $ ?
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MessagePosté le: 09 Oct 2005, 11:47    Sujet du message: Répondre en citant

les balises pour délimiter un contenu mathématique
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