Maths et Délires
Des maths et des délires
 

Maths et Délires Index du Forum

 FAQFAQ   RechercherRechercher   Liste des MembresListe des Membres   Groupes d'utilisateursGroupes d'utilisateurs   S'enregistrerS'enregistrer 
 ProfilProfil   Se connecter pour vérifier ses messages privésSe connecter pour vérifier ses messages privés   ConnexionConnexion 

Nombres algébriques

 
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques taupinales et supérieures
Voir le sujet précédent :: Voir le sujet suivant  
Auteur Message
Tom
Matheux (se)


Inscrit le: 14 Aoû 2007
Messages: 238

MessagePosté le: 24 Nov 2007, 19:00    Sujet du message: Nombres algébriques Répondre en citant

Bonjour,
je suis en train de faire un petit exo sur les nombres algébriques, et je me suis subitement posé une question Cool

Si [tex:65dbb31672]\alpha[/tex:65dbb31672] et [tex:65dbb31672]\beta[/tex:65dbb31672][tex:65dbb31672] \in L[/tex:65dbb31672] sont algébriques sur [tex:65dbb31672]K[/tex:65dbb31672] ([tex:65dbb31672]K[/tex:65dbb31672] inclus dans [tex:65dbb31672]L[/tex:65dbb31672]), de même polynôme minimal annulateur, à quelle condition a-t-on [tex:65dbb31672]K[\alpha] = K[\beta][/tex:65dbb31672] ? En particulier si L algébriquement clos ([tex:65dbb31672]L = C[/tex:65dbb31672] par ex et [tex:65dbb31672]K = Q[/tex:65dbb31672]).

Merci.
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 24 Nov 2007, 22:09    Sujet du message: Répondre en citant

Bon, alors, déjà, on pose [tex:e0a53dfd93]\Pi[/tex:e0a53dfd93] le polynôme minimal de [tex:e0a53dfd93]\alpha[/tex:e0a53dfd93] et [tex:e0a53dfd93]\beta[/tex:e0a53dfd93] sur [tex:e0a53dfd93]K[/tex:e0a53dfd93].
On a [tex:e0a53dfd93]K [ \alpha ] \sim K [ \beta ] \sim { K [X] } / { \left< \Pi \right> }[/tex:e0a53dfd93], c'est le corps de rupture de [tex:e0a53dfd93]\Pi[/tex:e0a53dfd93].
Ensuite, deux cas se présentent :
* Si toutes les racines de [tex:e0a53dfd93]\Pi[/tex:e0a53dfd93] dans [tex:e0a53dfd93]L[/tex:e0a53dfd93] sont dans [tex:e0a53dfd93]K [\alpha][/tex:e0a53dfd93] (c'est en particulier le cas lorsque [tex:e0a53dfd93]\Pi[/tex:e0a53dfd93] est scindé sur [tex:e0a53dfd93]K[\alpha][/tex:e0a53dfd93] ou lorsque [tex:e0a53dfd93]L = K[\alpha][/tex:e0a53dfd93], alors en particulier [tex:e0a53dfd93]\beta \in K[\alpha][/tex:e0a53dfd93], donc [tex:e0a53dfd93]K[\beta] \subseteq K[\alpha][/tex:e0a53dfd93], puis [tex:e0a53dfd93]K[\beta] = K[\alpha][/tex:e0a53dfd93].

* Sinon, on peut prendre [tex:e0a53dfd93]\beta[/tex:e0a53dfd93] une racine de [tex:e0a53dfd93]\Pi[/tex:e0a53dfd93] dans [tex:e0a53dfd93]L \setminus K[\alpha][/tex:e0a53dfd93]. Alors, clairement, [tex:e0a53dfd93]K[\beta] \neq K[\alpha][/tex:e0a53dfd93].

Dans le cas où [tex:e0a53dfd93]L[/tex:e0a53dfd93] contient le corps de décomposition de [tex:e0a53dfd93]\Pi[/tex:e0a53dfd93] (c'est en particulier le cas lorsque [tex:e0a53dfd93]L[/tex:e0a53dfd93] est algébriquement clos), la condition devient : "[tex:e0a53dfd93]\Pi[/tex:e0a53dfd93] est scindé sur [tex:e0a53dfd93]K [\alpha][/tex:e0a53dfd93]", on dit aussi que [tex:e0a53dfd93]K \rightarrow K[\alpha][/tex:e0a53dfd93] est une extension normale.

Xavier, je n'ai pas trop dit de bêtises ?
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal


Dernière édition par Thibaut le 25 Nov 2007, 21:56; édité 1 fois
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
Tom
Matheux (se)


Inscrit le: 14 Aoû 2007
Messages: 238

MessagePosté le: 25 Nov 2007, 21:50    Sujet du message: Répondre en citant

O, merci bcp de ta réponse :)
_________________
JJ never dies
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
xavier
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 1190

MessagePosté le: 02 Déc 2007, 6:24    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Xavier, je n'ai pas trop dit de bêtises ?

Non, non, c'est bon...
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Visiter le site web du posteur
Montrer les messages depuis:   
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques taupinales et supérieures Toutes les heures sont au format GMT + 2 Heures
Page 1 sur 1

 
Sauter vers:  
Vous ne pouvez pas poster de nouveaux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas éditer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas supprimer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas voter dans les sondages de ce forum


Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Traduction par : phpBB-fr.com