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Exo de DS

 
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Auteur Message
Igor
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 697
Localisation: Beyond your wildest dreams

MessagePosté le: 26 Sep 2005, 19:58    Sujet du message: Exo de DS Répondre en citant

Trouver tous les applications de Z^2 dans R tels que pour tous u,v dans Z^2 tels que les vecteurs u et v soient orthogonaux on ait: f(u+v)=f(u)+f(v).

(Dans l'énoncé original on donnait la réponse, mais c'est plus marrant de ne pas la donner :) )
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
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Localisation: paris

MessagePosté le: 26 Sep 2005, 20:24    Sujet du message: Répondre en citant

Là aussi en enlevant toutes indications (il y avait 8 questions dans l'exercice suivant pour montrer que ...) :
Si x appartient à D_n (où D_n = l'ensemble des n-uplet (x_i) de réels positifs ou nuls tels que les nombres y_1 = x_2+x_3, y_2 = x_3 + x_4, ..., y_n-1 = x_n + x_1 et y_n = x_1 + x_2 non nuls) avec n entier entre 2 et 6 alors on a l'inégalité suivante :
x_1/y_1 + x_2/y_2 + ... + x_n/y_n > ou = n/2.

J'ajoute une petite question sans doute plus dure : quel est l'ensemble des entiers vérifiant cette inégalité pour tout élément de D_n?
Bonne chance Wink
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Igor
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 697
Localisation: Beyond your wildest dreams

MessagePosté le: 26 Sep 2005, 20:32    Sujet du message: Répondre en citant

C'est pas généralisable pour n>6 ?

Igor, qui n'y a pas réfléchi.
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
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MessagePosté le: 26 Sep 2005, 21:18    Sujet du message: Répondre en citant

Moi non plus je n'y ai pas réfléchi mais je me demande pourquoi serait-ce si important que n plus petit que 6.
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xavier
Mathématicien(ne)


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Messages: 1190

MessagePosté le: 26 Sep 2005, 21:33    Sujet du message: Répondre en citant

Hum, ce ne serait pas l'inégalité de Shapiro, ça ? Je me rappelle avoir planché toute une journée sur un sujet d'Ulm qui lui était consacré.
Pour répondre à Igor et Laurent, l'inégalité n'est pas vrai pour tout n. Par contre, elle devient vrai en remplaçant n/2 par c*n pour un réel c un peu plus petit (mais pas beaucoup) que 1/2.
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 26 Sep 2005, 21:42    Sujet du message: Répondre en citant

Ben, le 6 en lui-même est moyennement important parce que, dans le cas général, l'inégalité est fausse...

Cette inégalité est connue sous le nom d'inégalité de Shapiro (qui, en fait, demandait si elle était vraie pour tout n vu qu'il savait la prouver pour n = 3 et 4).

En fait, cette inégalité est vraie pour n =< 12 pair et pour n =< 23 impair. Elle est fausse dans tous les autres cas.

Si on note f(n) la borne inférieure du membre de gauche lorsque les variables décrivent ]0;+oo[, on sait maintenant que lim f(n)/n = inf f(n)/n = µ,
avec µ = 0,4945668....

Et Drinfeljd (médaille Fields, mais pas pour ça quand même), a même donné une interprétation géométrique simple de µ.

L'inégalité de Shapiro a donné lieu à un sujet de l'E.N.S. en 1996 ou 1997, qui je crois conduit à tous ces résultats.
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 26 Sep 2005, 21:42    Sujet du message: Répondre en citant

Aaargh, Xavier a répondu avant...
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 26 Sep 2005, 21:45    Sujet du message: Répondre en citant

Sinon, pour les olympiques qui n'auraient pas lu le poly sur les inégalités, on peut montrer 'olympiquement' que si on remplace n/2 par n/4, elle est vraie tout le temps.
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Raf
Invité





MessagePosté le: 26 Sep 2005, 23:21    Sujet du message: Répondre en citant

Pour le 1er exo je trouve que les fonctions f sont celles pour lesquels il existe des constantes l_1 et l_2 tq:

f(n,m)=[n^2+E(m^2/2)-E(n^2/2)]*l_1+[m^2+E(n^2/2)-E(m^2/2)]*l_2

Est-ce que c'est ça?

Pour la démonstration :) j'ai la flemme de l'écrire ce soir surtout si ma formule est fausse.
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 26 Sep 2005, 23:29    Sujet du message: Répondre en citant

Je viens de remarquer que le cas n = 3 c'est l'inégalité de Nesbitt!!! Je me disais que j'avais déja vu ça. Par contre, Shapiro je connaissais que de nom.
Quant à la solution de Raf, ça doit être faux. Un indice : y a 4 constantes arbitraires et pas de parties entières. En fait, la solution générale n'est même pas horrible.
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 26 Sep 2005, 23:55    Sujet du message: Répondre en citant

J'ai vu sur un site que la première partie du sujet d'ENS concerné était le cas pour n entre 3 et 6. Comme quoi la MPSI 2 fait des contrôles de brutes Twisted Evil
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Raf
Invité





MessagePosté le: 27 Sep 2005, 0:29    Sujet du message: Répondre en citant

Embarassed en effet!
Après correction mais sans simplification je trouve qu'il existe l_1,l_2,l_3 et l_4 et les suites a_n,b_n,c_n définit par:

a_2n=n(n+1) a_2n+1=(n+1)^2
b_2n=n^2 b_2n+1=n(n+1)
c_2n=n(n-1) c_2n+1=n^2

tq f(n,m)=(a_n+b_m)l_1+(a_m+b_n)l_2+(b_m+c_n)l_3+(b_n+c_m)l_4

Bon j'avoue c'est très laid mais là je vois pas trop comment le simplifier alors je laisse ça à brut.
(La solution d'au dessus ça correspondait à l_1=l_3 et l_2=l_4)
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 27 Sep 2005, 6:37    Sujet du message: Répondre en citant

Je pense que ce doit être la solution (pas de vérification car pas le temps). Mais maintenant que t'as prouvé que 4 constantes suffisent tu peux tout simplement chercher 4 solutions plus potables, ce qui t'assurera d'avoir trouver la solution générale et celà sans avoir à travailler sur un truc pas très beau. Je suis sur que trouvé quatre solutions sur Z^4 non linéairement dépendantes n'est pas trop dur.
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xavier
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 27 Sep 2005, 16:57    Sujet du message: Répondre en citant

Certes.
Déjà, il y a les fonctions linéaires qui donnent un ev de dimension 2.
Il y a la fonction f(n,m) = n^2+m^2 (qui marche par le théorème de Pythagore).
Et finalement, il y a la jolie fonction suivante : f(n,m) vaut 0 si n et m ont même parité, 1 si n est pair et m impair et -1 dans le dernier cas.
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 27 Sep 2005, 17:23    Sujet du message: Répondre en citant

C'est exactement les fonctions données dans le DS. Une fois qu'on prouve qu'elles marchent elle demandait de démontrer que les fonction solutions sont tq f(x,y) = ax + by + c (x²+y²) + d (r(x) - r(y)) où r(x) vaut 1 si x impair et 0 sinon.
Ce que j'ai aimé dans l'exo c'est que j'ai démontré par récurrence sur x²+y² que l'on f = g si f solution et g la solution confondue avec f en (1,0), (0,1), (-1,0) et (0,-1) ie j'ai montré que l'ensemble des solutions est un e.v de dim 4 avec des triangles rectangles jolis.
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xavier
Mathématicien(ne)


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Messages: 1190

MessagePosté le: 27 Sep 2005, 18:02    Sujet du message: Répondre en citant

Ouais, ben pareil.
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