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Colles en MP*4 : Le retour
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 19 Sep 2006, 17:21    Sujet du message: Colles en MP*4 : Le retour Répondre en citant

Le titre dit tout ou presque.
En fait, je n'ai pas encore été collé mais il fallait créer le topic. Puis je voulais pas me le faire voler et encore moins voir un topic "colles en MP*i" avec i<>4.
J'espère juste que je ne serai pas le seul à donner les exos de colle, ça serait bête sinon. Mais c'est mal parti puisqu'il semble que la connexion à internet des autres de cette année soit assez limitée (pas bien l'internat/Bossuet).
En tout cas, dès demain je vous posterai mon sujet de colle dont le thème est l'algèbre générale.
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 20 Sep 2006, 23:03    Sujet du message: Répondre en citant

J'ai eu ma colle. voici le sujet : trouver les premiers somme de deux carrés (encore!).
Il s'agissait de le faire avec Z[i].
Pour ceux qui connaissent pas, voici les questions intermédiaires :
- Wilson : (p-1)!=-1[p] <=> p premier
- -1 est un carré [p] si p=1[4]
- Z[i] principal
- trouver la réponse à partir des questions précédentes.
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Nakor
Légère tendance aux maths


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MessagePosté le: 21 Sep 2006, 20:39    Sujet du message: Répondre en citant

abbesanchez a écrit:
- Wilson : (p-1)!=-1[p] <=> p premier

on peut montrer aussi que l'une de ces propriétés equivaut (en rajoutant la condition p impair) à [(p-1)/2 !]^2 congru (-1)^((p+1)/2) mod(p)

sinon eu en colle aujourd'hui
determiner n tel que (x-1)^n - x^n +1 admette des racines doubles complexes...


c'était pas une colle en mp*4, mais bon Razz
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 21 Sep 2006, 22:39    Sujet du message: Répondre en citant

je crois avoir trouvé une solution (pas très belle donc l'erreur est possible).
écrivons d'abord que, si P est le polynôme considéré :
P'(X) = n[(X-1)^(n-1)-X^(n-1)]
P''(X) = n(n-1)[(X-1)^(n-2)-X^(n-2)].
On a une première condition n <> 0 et 1.
Supposons cette condition vérifiée et considérons x une solution de P'.
x n'est pas solution de P'' (clair). Il s'agit donc de trouver une CNS pour que x soit racine de P.
On veux (x-1)^(n-1)=x^(n-1). Les racines de P' sont donc les éléments de la forme 1/(1-w) où w racine (n-1) de l'unité. D'où :
P(x) = 0 <=> (1-w)^(n-1)=1
Mq ceci <=> w vaut a*e^(i*pi/3) où a vaut 1 ou -1.
CN : En effet, |w|=|1-w|=1.
CS : On a alors 1-w conjugué de w. C'est donc aussi une racine (n-1)-ième de l'unité.
D'où :
P admet une racine double <=> il existe une racine (n-1)-ième de l'unité qui vaut a*e^(i*pi/3) où a vaut 1 ou -1.
Ainsi, sauf erreur de ma part, ceci ne signifie rien d'autre que 6|(n-1).
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Nakor
Légère tendance aux maths


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MessagePosté le: 22 Sep 2006, 18:30    Sujet du message: Répondre en citant

c'est un peu comme ca que j'avais fait, et c'est la bonne solution, donc ce que tu as fait doit être bon :)
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henri
Taupin(e) ou équivalent


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MessagePosté le: 23 Sep 2006, 17:01    Sujet du message: Répondre en citant

autre colle en mp*4 (facile celle la) : trouver les elements inversibles de Z[(1+i\sqrt(7))/2]

henri, que le prof s'est rendu compte cinq minutes avant la fin que c'etait pas sqrt(17) mais sqrt(7), donc mes delires sur les stathmes euclidiens n'ont servi a rien vu que j'ai du faire l'exo en 5 min... (et que c'est facile surtout)
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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Igor
Taupin(e) ou équivalent


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MessagePosté le: 23 Sep 2006, 20:27    Sujet du message: Répondre en citant

Avec Randé:

1. Soit c un réel strictement positif. Montrer que d(n)=O(n^c) (d(n): nb de diviseurs de n)

2. f de R dans R de classe C1. On suppose qu'au voisinage de +oo, f=o(f'). Montrer que f est identiquement nulle sur un voisinage de +oo, ou que f tend vers +oo ou que f tend vers -oo.
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 29 Sep 2006, 21:23    Sujet du message: Répondre en citant

je me suis pris le nullstellensatz de Hilbert (bref, le théorème des zéros de Hilbert). c'était un peu dur pour un colle mais il y avait une hypothèse supplémentaire de non-dénombrabilité du corps sur lequel on travaillait. voici grosso modo les questions :
1) montrer que K(X) est un K-ev de dimension infinie (au début, il m'avait mis K[X]-ev ce qui était doublement bizarre car à la fois c'était faux à la fois il fallait plutôt dire "module")

2) montrer que si K[x_1...x_n] est un corps c'est un K-ev de dimension finie (x_1...x_n ne sont pas des inconnues)

A partir de là, K est algébriquement clos (il avait mis K=C mais ça change rien)
3) soit J un idéal maximal de K[X_1...X_n]. montrer qu'il existe x_1...x_n tels que J est l'ensemble des P tels que P(x_1...x_n)=0

A partir de là J est un idéal quelconque de K[X_1...X_n] et V(J) est l'ensemble des x_1...x_n tels que P(x_1...) s'annulle pour tout P dans J.
4) montrer que V(J) vide entraîne J = K[X_1...X_n].

5) démontrer le théorème des zéros de Hilbert : si P dans K[X_1...X_n] tel que P(x_1...) = 0 dès que (x_1...x_n) dans V(J) alors il existe k entier tel que P^k élément de J.

C'était loin d'être trivial (à part les questions 1 et 4). Le plus énervant est que je savais que j'avais la solution dans mon sac pendant toute la colle Sad
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 30 Sep 2006, 18:08    Sujet du message: Répondre en citant

"montrer que K(X) est un K-ev de dimension infinie"
Je suppose qu'il suffit de montrer que (1/(X-a))_a\in K est une famille libre de K(X), et comme K infini...

"montrer que si K[x_1...x_n] est un corps c'est un K-ev de dimension finie (x_1...x_n ne sont pas des inconnues)"
Euh... Alors, c'est quoi ? Des éléments du corps ? Aucun intérêt. Des éléments d'un sur-anneau ? D'un sur-corps ? De la clôture algébrique ? De K(X) ?
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 01 Oct 2006, 2:42    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
Euh... Alors, c'est quoi ? Des éléments du corps ? Aucun intérêt. Des éléments d'un sur-anneau ? D'un sur-corps ? De la clôture algébrique ? De K(X) ?

rofl, du chipotage à 2 sous.
déja, j'ai formulé ainsi car j'ai voulu être fidèle à l'énoncé. je vais tout de même répondre à ta question puisque la réponse est assez simple.
la réponse la plus intuitive est qu'il s'agit d'éléments d'une extension de corps. d'ailleurs la question suivante amène vite à cette idée (que faire avec un idéal maximal pour se ramener à un corps ???).
mais en fait, que x_1...x_n appartiennent à K (certes, c'est inutile), à une extension en tant que corps ou anneau, à une clôture algébrique ou à K(X) ne change rien. en effet, x_1...x_n appartiennent forcément à une extension de corps de K puisqu'ils appartiennent à K[x_1...x_n], corps par hypothèse.
comme quoi faut pas chercher d'erreur quand l'énoncé est assez précis ou plutôt pas trop imprécis.
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wiat
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 06 Oct 2006, 21:19    Sujet du message: Répondre en citant

Tiens a propos des colles de MP*4, parait que t'as mieux réussi que Taïbi un exo qui vous avait été donné à tous les deux (en même temps, c'est dans l'ordre normal des choses...)
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Vian
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
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MessagePosté le: 06 Oct 2006, 21:49    Sujet du message: Répondre en citant

Incroyable! comme les nouvelles courent vite!
Déja, dimanche dernier, un ami de STAR3, Xavier - celui qui a participé à la séléction pour les IMO -, m'apprend que je suis major en maths et que les notes sont sur le site de MA classe.
A midi, des PSI* ex-HX2 s'amusent à narguer des HX1. Ces mêmes ex-HX2 m'apprennent que j'ai eu un point de plus que Taïbi sur le même sujet à une colle, et je sais même pas de quelle colle il s'agit Shocked (d'ailleurs, notre colloscope est assez vicieux car chaque semaine mon groupe et celui de Taïbi avons les mêmes colleurs, sauf parfois en anglais Confused ).
Bref, omme quoi je suis toujours en retard et même sur les nouvelles concernant mes propres notes et ma propre class ...
Je me demande tout de même qui a diffusé ces informations dans e lycée parce que, avec tout ça, je crois que Taïbi me déteste Crying or Very sad Et le pire c'est que dans tout ça, c'est problablement juste la chance qui est de mon côté! Et oui, avec même moi y a pas d'ordre des choses...
Bon, mon sujet de colle de cette semaine, c'était assez spécial. Je vais pas aller dans les détails. Y avait plusieurs exos indépendants sans intérêts particuliers (et pas très beaux). Ca devait être un truc comme ça :
- montrer que u est un isomorphisme de E vers F si c'est une application linéaire et qu'il existe une unique application linéire v telle que u°v = id.
- quelques propriétés sur les valeurs u-propres de f linéaire (c'est bien le nom?) ie les x tels Ker (f-xu) non trivial.
- une question de l'X sur l'existence, pour n fixé, de h linéaire sur K[X] vérifiant h^k=f où f est l'application P |-> (1+X²)P''+XP' (là encore l'erreur est possible).
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 06 Oct 2006, 22:57    Sujet du message: Répondre en citant

C'est qui Taïbi? Confused
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abbesanchez
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MessagePosté le: 06 Oct 2006, 23:15    Sujet du message: Répondre en citant

Le deuxième au CG de maths !
L'année dernière, les élèves des différentes classes de MPSI de LLG, sauf la notre Wink , participaient à des devoir en commun. En particulier, l'un d'entre eux - Olivier Taïbi - majorait tout le monde de beaucoup.
A la fin de cette même année, après les différents conseils de classe, on a appris qui était en quelle classe. En particulier, on a appris que lui et moi étions en MP*4.
C'est ainsi que certains ont commencé à "parier" pour ce qui est de qui sera major au premier DS de maths.
=> Maintenant, certains - en fait surtout les HX2 et ex-HX2 me semble-t-il - s'amusent à nous comparer.
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pierre
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MessagePosté le: 07 Oct 2006, 22:04    Sujet du message: Répondre en citant

Ah..bon. Ok.
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abbesanchez
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MessagePosté le: 08 Oct 2006, 15:43    Sujet du message: Répondre en citant

en tant qu'unique fournisseur de sujets de colles depuis deux semaines j'annonce une grève si personne ne se décide à en envoyer aujoud'hui Mad
j'espère que je parle pas trop dans le vide Embarassed
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Bija
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MessagePosté le: 08 Oct 2006, 16:10    Sujet du message: Répondre en citant

CNS sur A,B matrices de Mn(C) pour que l'équation en X AX-BX=Y ait au moins une solution quelque soit Y.
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Les chances sur un million, ca se réalise 9 fois sur 10.
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 08 Oct 2006, 17:34    Sujet du message: Répondre en citant

Je suppose que c'est A.X-X.B, car sinon la réponse est triviale : A-B€GL_n(C).

On pose phi : M_n (C)->M_n(C), X->A.X-X.B
C'est clairement un endomorphisme de M_n(C), C-ev de dim. finie, donc phi surjective ssi phi injective ssi forall M€M_n(C), A.M=M.B => M=0.
Euh... J'avais dû le faire l'an dernier, mais je ne sais plus comment...
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Bija
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MessagePosté le: 08 Oct 2006, 18:54    Sujet du message: Répondre en citant

oui c'est bien sur AX-XB, désolé
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wiat
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 08 Oct 2006, 19:47    Sujet du message: Répondre en citant

abbesanchez a écrit:
Ces mêmes ex-HX2 m'apprennent que j'ai eu un point de plus que Taïbi sur le même sujet à une colle, et je sais même pas de quelle colle il s'agit Shocked.

Qui donc? Sinon, je sais pas exactement de quelle colle il s'agit, mais c'est une colle à laquelle t'as eu 18 et Taïbi 17.
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