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Daniel
Matheux (se)


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MessagePosté le: 22 Oct 2006, 21:32    Sujet du message: Répondre en citant

Et donc, est-ce que le client agit comme un automate (fini)?
Ou, question plus pertinente, est-ce que son action dépend seulement de l'état actuel des verres?

(Hehe. :))
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Blib.
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Thibaut
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MessagePosté le: 22 Oct 2006, 22:10    Sujet du message: Répondre en citant

1) Je n'ai pas encore trouvé la réponse.
2) Etant donné qu'il n'a pas connaissance de ces états, je vois mal comment il pourrait le faire.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 23 Oct 2006, 11:44    Sujet du message: Répondre en citant

Disons (enfin, pour la solution que je connais) qu'utiliser les automates de manière plutôt tordue permet de trouver la réponse.
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 23 Oct 2006, 13:16    Sujet du message: Répondre en citant

Ce matin, TD Compilation : Utiliser CamlLex et CamlYacc pour fabriquer un analyseur lexical/syntaxique associée à la grammaire écrite la fois précédente.

Facultatif : Implémenter l'algorithme de Earley pour l'analyse syntaxique. Je m'y attaque ce soir.
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jean
Légère tendance aux maths et aux délires


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MessagePosté le: 23 Oct 2006, 14:43    Sujet du message: Répondre en citant

Arf...C'est un beau problème de déterminisation d'un automate. On peut aussi le voir comme un graphe et vérifier plus ou moins à la main (c'est moche) qu'une certaine stratégie est toujours gagnante.

Généralisation : Montrer que si N est une puissance de 2, alors il y a toujours une stratégie gagnate. C'est fait ici est c'est plutot joli (je n'ai pas vérifier tout le détail mais ça semble ok) : http://www.eleves.ens.fr/home/gueritau/barman.pdf
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Thibaut
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MessagePosté le: 23 Oct 2006, 15:13    Sujet du message: Répondre en citant

Edit : je viens de me rendre dompte que j'avais oublié de préciser que la permutation du client devait toujours appartenir au groupe engendré par une permutation circulaire initialement fixée... Euh... Le barman a-t-il besoin de la connaître précisément ou suffit-il simplement qu'il sache qu'elle existe ?
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antony
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MessagePosté le: 23 Oct 2006, 15:47    Sujet du message: Répondre en citant

Ah euh... Dans la version que je connaissais, les verres étaient placés en carré sur un plateau rond et le client ne pouvait que tourner ce plateau. L'article, lui, donne une stratégie gagnante si le client choisit ses permutations dans un groupe connu du barman et d'ordre une puissance de 2, et montre qu'il n'y en a pas si le groupe n'est pas d'ordre une puissance de 2.
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 25 Oct 2006, 13:48    Sujet du message: Répondre en citant

Vendredi, TD Algèbre 4 :
Exo 1 : Montrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A_5 (groupe alterné).

Exo 2 :
1) Montrer que O_n(IR) est produit semi-direct de SO_n(IR) et de Z/2Z. CNS sur n pour que le produit soit en fait direct ?
2) Montrer que SO_n(IR) est un groupe topologique compact et connexe.
3) Montrer que dans un groupe topologique, la composante connexe et la composante cpa de 0 sont des sous-groupes distingués.
4) Montrer que SO_3(IR) est simple, en utilisant f : SO_3(IR)->[0;pi], g->arccos((Tr(g)-1)/2)

Exo 3 : Calculer D(GL_2(F)) et D(SL_2(F)) pour F=F_2, puis F=F_3.

Exo 4 : Soit G nilpotent non trivial. Montrer que son centre est non trivial, puis que tout sous-groupe propre est strictement inclus dans son normalisateur.

Exo 5 : Soit K corps, G=GL_n(K), B le groupe de Borel formé par les matrices triangulaires sup. de G, U le sous-groupe de B formé par les matrices n'ayant que des 1 sur la diagonale principale.
Montrer que U est nilpotent, et B résoluble, sans être nilpotent.

Exo 6 : Soit E un K-ev de dim 2, C l'ensemble des classes de conjugaison des transvections de E sous SL(E).
Montrer que X est en "bijection naturelle" avec K*/(K*²).
Que dire si K=IR ? C ? F_p ? Q ?

Exo 8 : Montrer que tout groupe d'ordre 24 dont les Sylow ne sont pas distingués est isomorphe à S_4 (groupe symétrique).
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Thibaut
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MessagePosté le: 25 Oct 2006, 20:32    Sujet du message: Répondre en citant

Existe-t-il un groupe non commutatif dont tous les sous-groupes sont distingués ?

Indice a écrit:
Chercher parmi les groupes de cardinal 8.

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Daniel
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MessagePosté le: 25 Oct 2006, 23:31    Sujet du message: Répondre en citant

Oui, le groupe des quaternions.
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Thibaut
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MessagePosté le: 06 Nov 2006, 21:54    Sujet du message: Répondre en citant

Pfiou... Aujourd'hui, on s'est payé le typage dans notre interpréteur qui va bientôt devenir compilateur...

C'est chaud, sachant qu'on doit autoriser les fonctions mutuellement récursives...
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Thibaut
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MessagePosté le: 18 Nov 2006, 14:26    Sujet du message: Répondre en citant

Ce matin, partiel d'Intégration / Probabilités.

Exercice 1 :
* Soit, pour n€IN, I_n = Int{x=0...1} Sum{k=0...n} x^(2k)/Sum{k=0...n} x^k.dx
Montrer que (I_n) converge et donner sa limite.

* Soit, pour n€, J_n = Int{x=0...1} Sum{k=1...n} x^k/Sum{k=1...n} x^k/k.dx
Etudier la convergence de (J_n).


A la sortie du partiel, fou rire entre amis (que je ne nommerai pas... J'avouerai seulement être l'un des boulets ci-dessous) :
- L'un d'entre eux avait essayé de chercher une domination pour appliquer le TCVD, mais, perturbé par les 1-x^k qui apparaissant dans le calcul de Sum{k=0...n} x^(2k)/Sum{k=1...n} x^k, pensait qu'il aurait besoin d'une domination par quelque chose qui tendait vers l'infini en 1, en restant intégrable... Faute de la trouver, il cherche donc à appliquer le TCVM... Mais, refusant de se lancer dans des factorisations foireuses de polynômes douteux... N'obtient pas de monotonie. Une heure et demie plus tard (ie 2 min avant la fin du partiel), il s'aperçoit que la domination cherchée était plus ou moins trivialement 1, et le rédige comme il peut dans la dernière minute.
- L'un d'entre eux avait essayé de chercher une domination pour appliquer le TCVD, mais, habitué aux intervalles non bornés, était persuadé qu'une constante ne conviendrait pas. Il a donc cherché à appliquer le théorème de convergence monotone... Après de nombreuses lignes de calcul, il parvient à prouver que, pour x€[0;1], Sum{k=0...n} x^(2k)/Sum{k=1...n} x^k est décroissante. Il parvient donc à la conclusion que I_n -> Int {x=0...1} 1/(1+x).dx = [-1/(1+x)²]{x=0...1} = 3/4.

Exercice 2 :
Soit p€[1;+oo[.
Soit, pour f € L^p([0;1]), et x€]0;1] T_n (f) (x) = Int_{y=k.2^-n...(k+1).2^-n} f(y).dy, où k est l'unique entier de {0,...2^n-1} tel que x€]k.2^-n,(k+1).2^-n], et T_n (f) (0) = 0.
Montrer que, pour n€IN, T_n endomorphisme continu de L^p([0;1]), avec |||T_n|||<=1.
Montrer que T_n converge simplement vers l'identité.

Exercice 3 : Soit (E, A, mu) espace mesuré, p€]0;1[.
On pose, pour f : E->IR mesurable, |f|_p = Int {E} |f|^p.dmu.
On pose ensuite L^p = {f : E->IR, f mesurable et |f|_p < +oo}.
Montrer que L^p se munit d'une structure naturelle de IR-ev.
On pose d_p : (L^p)² -> IR, (f,g) ->|f-g|_p
Montrer qu'elle est compatible avec la relation "être égal mu-p.p.".
On pose L^p l'espace quotient.
Montrer que d_p induit une distance sur L^p qui en fait un espace complet.
On pose, pou
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Dernière édition par Thibaut le 19 Nov 2006, 9:41; édité 2 fois
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Emir Sabah al Sabah
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MessagePosté le: 19 Nov 2006, 3:18    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Ce matin, partiel d'Intégration / Probabilités.


Au fait, comment s'est passé le partiel d'algèbre pour toi ? tu as du tout torcher Very Happy
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jean
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MessagePosté le: 19 Nov 2006, 4:10    Sujet du message: Répondre en citant

Int {x=0...1} 1/(1+x).dx = [-1/(1+x)²]{x=0...1} = 3/4.

Alors ça c'est grandiose! Laughing Wink Shocked Very Happy Laughing
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Thibaut
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MessagePosté le: 19 Nov 2006, 9:40    Sujet du message: Répondre en citant

J'avoue qu'on a bien rigolé à ce sujet en sortant...
Et le correcteur pourrait bien s'amuser aussi...
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Emir Sabah al Sabah
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MessagePosté le: 19 Nov 2006, 18:27    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
J'avoue qu'on a bien rigolé à ce sujet en sortant...
Et le correcteur pourrait bien s'amuser aussi...

C'est bien de prendre le parti d'en rire en tout cas... J''espère que tu sauras en faire autant au moment de recevoir ta note.
Au fait, combien as-tu eu au partiel d'algèbre ?
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Thibaut
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MessagePosté le: 15 Déc 2006, 21:40    Sujet du message: Répondre en citant

En TD de logique, on a montré un truc trop fort :
Si T est une théorie du premier ordre (ie les axiomes sont des formules de la logique usuelle, avec des quantifications qui ne portent que sur ce qui sera interprété comme les éléments du modèles, et non sur les parties du modèle, ou les relations dans le modèle), récursive (ie telle qu'il existe une machine de Turing qui, étant donné le codage d'une formule, décide s'il s'agit d'un axiome de la théorie ou non), contenant l'arithmétique de Peano, alors :
* Pour F formule du premier ordre, il existe une formule du premier ordre "T prouve F" qui exprime que T prouve F.
* Pour F formule du premier ordre, si T U {"T prouve F"} prouve F, alors T prouve F.
Autant dire : il ne sert à rien de savoir que T prouve F, pour prouver F dans T...

Prise de tête pendant deux heures et quart pour prouver que ce théorème est équivalent au deuxième théorème d'incomplétude de Gödel (modulo des trucs "basiques"), alors que quelques lignes suffisent... Le problème est simplement de comprendre ce que l'on écrit...
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Thibaut
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MessagePosté le: 18 Jan 2007, 14:23    Sujet du message: Répondre en citant

Hier : Examen d'Intégration et Probabilités :

Exercice 1.

Soit [tex:99d9fd7dd5]\nu[/tex:99d9fd7dd5] une mesure finise sur [tex:99d9fd7dd5][0, +\infty[[/tex:99d9fd7dd5]; on introduit sa transformée de Laplace [tex:99d9fd7dd5]\mathcal L_\nu[/tex:99d9fd7dd5] et sa transformée de Stieltjes [tex:99d9fd7dd5]\mathcal S_\nu[/tex:99d9fd7dd5], qui sont définies pour tout réel [tex:99d9fd7dd5] q \geq 0[/tex:99d9fd7dd5], respectivement par

[tex:99d9fd7dd5]\mathcal L_\nu(q) = \int_{[0, +\infty[} {e^{-qy} \nu(dy)}, \mathcal S_\nu(q) = \int_{[0, +\infty[} \frac {\nu(dy)} {q+y}}[/tex:99d9fd7dd5].

(a) Montrer que le logarithme de la transformée de Laplace est une fonction convexe, c'est-à-dire que pour tout [tex:99d9fd7dd5]a \in [0, 1][/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]q, r \geq 0[/tex:99d9fd7dd5], on a

[tex:99d9fd7dd5]\ln (\mathcal L_\nu (aq+(1-a)r)) \leq a \ln (\mathcal L_\nu (q)) + (1-a) \ln (\mathcal L_\nu (r))[/tex:99d9fd7dd5]

(b) Montrer que la fonction [tex:99d9fd7dd5]y \mapsto y^{-1}[/tex:99d9fd7dd5] est [tex:99d9fd7dd5]\nu[/tex:99d9fd7dd5]-intégrable si et seulement si la mesure absolument continue [tex:99d9fd7dd5]m[/tex:99d9fd7dd5] sur [tex:99d9fd7dd5]]0, +\infty[[/tex:99d9fd7dd5] donnée par [tex:99d9fd7dd5]m(dx) = \mathcal L_\nu (x) dx[/tex:99d9fd7dd5] est finie.
Montrer qu'alors [tex:99d9fd7dd5]\mathcal S_\nu = \mathcal L_m[/tex:99d9fd7dd5], puis que le logarithme de la transformée de Stieltjes, [tex:99d9fd7dd5]\ln \mathcal S_\nu[/tex:99d9fd7dd5] est également une fonction convexe.

(c) On rappelle le résultat d'approximation suivant d'une fonction continue par des polynômes, dû à Weierstrass : Supposons que [tex:99d9fd7dd5]f : [0, 1] \rightarrow \mathbb R[/tex:99d9fd7dd5] soit une fonction continue. Pour tout [tex:99d9fd7dd5]\epsilon>0[/tex:99d9fd7dd5], il existe une fonction polynômiale [tex:99d9fd7dd5]p[/tex:99d9fd7dd5] à coefficients réels telle que pour tout [tex:99d9fd7dd5]x[/tex:99d9fd7dd5] dans [tex:99d9fd7dd5][0, 1][/tex:99d9fd7dd5], nous ayons [tex:99d9fd7dd5]|f(x) - p(x)| < \epsilon[/tex:99d9fd7dd5].

On considère eux mesures finies sur [tex:99d9fd7dd5][0, 1][/tex:99d9fd7dd5], [tex:99d9fd7dd5]\mu[/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]\mu'[/tex:99d9fd7dd5]. Montrer que si leurs moments entiers coïncident, c'est à dire si
[tex:99d9fd7dd5]\int_{[0, 1]} {x^n \mu(dx)} = \int_{[0, 1]} {x^n \mu'(dx)}[/tex:99d9fd7dd5] pour tout [tex:99d9fd7dd5]n = 0, 1, 2, ...[/tex:99d9fd7dd5]
alors [tex:99d9fd7dd5]\mu = \mu'[/tex:99d9fd7dd5].

(d) Déduire de (c) que si [tex:99d9fd7dd5]\nu[/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]\nu'[/tex:99d9fd7dd5] sont deux mesures finies sur [tex:99d9fd7dd5][0, +\infty[[/tex:99d9fd7dd5] telles que [tex:99d9fd7dd5]\mathcal L_\nu (n) = \mathcal L_{\nu'} (n)[/tex:99d9fd7dd5] pour tout [tex:99d9fd7dd5]n = 0, 1, 2, ...[/tex:99d9fd7dd5], alors [tex:99d9fd7dd5]\nu = \nu'[/tex:99d9fd7dd5]. [Indication : on pourra considérer les images des mesures [tex:99d9fd7dd5]\nu[/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]\nu'[/tex:99d9fd7dd5] par l'application [tex:99d9fd7dd5]x \mapsto e^{-x}[/tex:99d9fd7dd5].]

(e) Montrer que la transformée de Stieltjes [tex:99d9fd7dd5]\mathcal S_\nu[/tex:99d9fd7dd5] est une fonction de classe [tex:99d9fd7dd5]C^\infty[/tex:99d9fd7dd5] sur [tex:99d9fd7dd5]]0, +\infty[[/tex:99d9fd7dd5], et que pour tout entier [tex:99d9fd7dd5]k \in \mathbb N[/tex:99d9fd7dd5], sa dérivée [tex:99d9fd7dd5]k[/tex:99d9fd7dd5]-ième [tex:99d9fd7dd5]\mathcal S_\nu^{(k)}[/tex:99d9fd7dd5] est donnée par :

[tex:99d9fd7dd5]\mathcal S_\nu^{(k)} (q) = (-1)^k k! \int_{[0, +\infty[} {(y+q)^{-(k+1)}\nu(dy)}, q>0[/tex:99d9fd7dd5].

(f) Montrer que si [tex:99d9fd7dd5]\nu[/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]\nu'[/tex:99d9fd7dd5] sont deux mesures de probabilités sur [tex:99d9fd7dd5][0, +\infty[[/tex:99d9fd7dd5] telles que les dérivées de tous ordres de leurs transformées de Stieltjes coïncident en 1, i.e. [tex:99d9fd7dd5]\mathcal S_\nu^{(k)} (1) = \mathcal S_{\nu'}^{(k)} (1)[/tex:99d9fd7dd5] pour tous [tex:99d9fd7dd5]k = 0, 1, 2, ...[/tex:99d9fd7dd5], alors [tex:99d9fd7dd5]\nu = \nu'[/tex:99d9fd7dd5].


Exercice 2.

Soient [tex:99d9fd7dd5]X_1, ..., X_n, ...[/tex:99d9fd7dd5] une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, qui suivent toutes la loi exponentielle de paramètre 1, c'est-à-dire [tex:99d9fd7dd5]P_{X_n} (dx) = e^{-x} dx, x>=0[/tex:99d9fd7dd5].

(a) Soit [tex:99d9fd7dd5]f : \mathbb N \rightarrow [0, +\infty[[/tex:99d9fd7dd5]. Déterminer la probabilité de l'évènement
[tex:99d9fd7dd5]\{ \text {il existe une infinité d'entiers } n \text { tels que } X_n > f(n) \}[/tex:99d9fd7dd5]
en fonction de la nature de la série [tex:99d9fd7dd5]\sum\limits_n {e^{-f(n)}}[/tex:99d9fd7dd5].

(b) Montrer que presque-sûrement
[tex:99d9fd7dd5]\limsup\limits_{n\infty} \frac {X_n} {\ln n} \geq 1[/tex:99d9fd7dd5].

(c) Montrer que pour chaque [tex:99d9fd7dd5]c>1[/tex:99d9fd7dd5], on a presque-sûrement
[tex:99d9fd7dd5]\limsup\limits_{n\infty} \frac {X_n} {\ln n} \leq c[/tex:99d9fd7dd5].
Que peut-on en conclure ?

(d) Pour [tex:99d9fd7dd5]n \geq 1[/tex:99d9fd7dd5], on pose [tex:99d9fd7dd5]S_n = \sum\limits_{k=1}^n {\frac {X_k} k}[/tex:99d9fd7dd5]. Montrer que
[tex:99d9fd7dd5]\mathbb E(S_n) \approx \ln n \text { quand } n \rightarrow +\infty[/tex:99d9fd7dd5]
et que [tex:99d9fd7dd5]\lim\limits_{n\infty} \Var (S_n) = \sigma^2[/tex:99d9fd7dd5], pour une certaine constante [tex:99d9fd7dd5]\sigma^2>0[/tex:99d9fd7dd5] qu'on ne calculera pas explicitement.

(e) En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebitchev, montrer que [tex:99d9fd7dd5]\frac {S_n} {\mathbb E(S_n)}[/tex:99d9fd7dd5] converge en probabilité vers 1 quand [tex:99d9fd7dd5]n[/tex:99d9fd7dd5] tend vers [tex:99d9fd7dd5]+\infty[/tex:99d9fd7dd5].
En déduire que [tex:99d9fd7dd5]\frac {S_n} {\ln n}[/tex:99d9fd7dd5] converge en probabilités vers 1.

Exercice 3.
Soient [tex:99d9fd7dd5]R[/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]\theta[/tex:99d9fd7dd5] deux variables aléatoires indépendantes, toutes les deux uniformément réparties sur [tex:99d9fd7dd5][0, 1][/tex:99d9fd7dd5]. On pose [tex:99d9fd7dd5]X = R \cos (2 \pi \theta), Y = R \sin (2 \pi \theta)[/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]Z = (X, Y)[/tex:99d9fd7dd5].

(a) Calculer [tex:99d9fd7dd5]\mathbb E(X)[/tex:99d9fd7dd5], [tex:99d9fd7dd5]\mathbb E(XY)[/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]\mathbb E(X^2+Y^2)[/tex:99d9fd7dd5].

(b) Déterminer la densité de la loi de [tex:99d9fd7dd5]Z[/tex:99d9fd7dd5] sur [tex:99d9fd7dd5]\mathbb R^2[/tex:99d9fd7dd5].

(c) Les variables [tex:99d9fd7dd5]X[/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]Y[/tex:99d9fd7dd5] sont-elles indépendantes ? Ont-elles la même loi ? Déduire de (a) les valeurs de [tex:99d9fd7dd5]\mathbb E(X^2)[/tex:99d9fd7dd5] et [tex:99d9fd7dd5]\mathbb E(Y^2)[/tex:99d9fd7dd5].

(d) Soient [tex:99d9fd7dd5]Z_1, ..., Z_n, ...[/tex:99d9fd7dd5] une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans [tex:99d9fd7dd5]\mathbb R^2[/tex:99d9fd7dd5], toutes de même loi que [tex:99d9fd7dd5]Z[/tex:99d9fd7dd5]. Etudier la convergence en loi lorsque [tex:99d9fd7dd5]n \rightarrow +\infty[/tex:99d9fd7dd5] de la suite
[tex:99d9fd7dd5]\frac {Z_1+...+Z_n} {\sqrt n}[/tex:99d9fd7dd5]
(on précisera la loi limite s'il y a lieu).
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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Thibaut
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MessagePosté le: 20 Jan 2007, 11:07    Sujet du message: Répondre en citant

Hier : Examen de Logique :

Exercice 1.

On définit l'ensemble des fonctions élémentaires comme le plus petit ensemble de fonctions entières (c'est-à-dire de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^k[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] pour un certain [tex:faacdcb2fa]k[/tex:faacdcb2fa]) vérifiant les propriétés suivantes :
    Les projections [tex:faacdcb2fa]proj_{p,i}[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^p[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] sont élémentaires,
    L'addition, la multiplication, la fonction caractéristique de l'égalité son élémentaires,
    Si [tex:faacdcb2fa]g[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^k[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] et [tex:faacdcb2fa]f_1, ..., f_k[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^p[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] sont élémentaires, alors leur composée [tex:faacdcb2fa]g \circ (f_1, ..., f_k)[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^p[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] est élémentaire.
    Si [tex:faacdcb2fa]f[/tex:faacdcb2fa] de de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^{p+1}[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] est élémentaire, alors la somme bornée et le produit borné respectivement définis par [tex:faacdcb2fa](x_1,...,x_p,x) \mapsto \sum\limits_{i=0}^x {f(x_1,...,x_p,i)[/tex:faacdcb2fa] et [tex:faacdcb2fa](x_1,...,x_p,x) \mapsto \prod\limits_{i=0}^x {f(x_1,...,x_p,i)[/tex:faacdcb2fa] sont élémentaires.


Question 1. Montrer que, pour tout [tex:faacdcb2fa]k[/tex:faacdcb2fa], les fonctions égales à [tex:faacdcb2fa]k[/tex:faacdcb2fa] (notées [tex:faacdcb2fa]const_{p,k}[/tex:faacdcb2fa]) de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^p[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] sont élémentaires.

Question 2. Montrer que la fonction exponentielle [tex:faacdcb2fa]exp[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^2[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] définie par [tex:faacdcb2fa]exp(m,n) = m^n[/tex:faacdcb2fa] est élémentaire.

Question 3. On définit la fonction [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^2[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] par [tex:faacdcb2fa]T(m, 0) = m[/tex:faacdcb2fa] et [tex:faacdcb2fa]T(m, n+1) = exp(2, T(m, n))[/tex:faacdcb2fa]. Pour [tex:faacdcb2fa]n[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa], on note [tex:faacdcb2fa]T_n[/tex:faacdcb2fa] la fonction [tex:faacdcb2fa]m \mapsto T(m, n)[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa].
    (i) Montrer que [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa] est primitive récursive.
    (ii) Montrer que [tex:faacdcb2fa](m, n) \mapsto T(m, n)[/tex:faacdcb2fa] est strictement croissante en [tex:faacdcb2fa]n[/tex:faacdcb2fa] à [tex:faacdcb2fa]m[/tex:faacdcb2fa] fixé et strictement croissante en [tex:faacdcb2fa]m[/tex:faacdcb2fa] à [tex:faacdcb2fa]n[/tex:faacdcb2fa] fixé.
    (iii) On dit qu'une fonction [tex:faacdcb2fa]f[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^p[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] est dominée par la fonction [tex:faacdcb2fa]g[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] si, pour tout [tex:faacdcb2fa](n_1, ..., n_p)[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N^p[/tex:faacdcb2fa], on a [tex:faacdcb2fa]f(n_1, ..., n_p) \leq g(max(n_1, ..., n_p))[/tex:faacdcb2fa]. Montrer que, pour toute fonction élémentaire [tex:faacdcb2fa]f[/tex:faacdcb2fa], il existe [tex:faacdcb2fa]n[/tex:faacdcb2fa] dans [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] tel que [tex:faacdcb2fa]f[/tex:faacdcb2fa] est dominée par [tex:faacdcb2fa]T_n[/tex:faacdcb2fa].
    (iv) Montrer que [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa] n'est pas élémentaire.


Exercice 2.

Soit [tex:faacdcb2fa]\Sigma[/tex:faacdcb2fa] la signature [tex:faacdcb2fa]\{0^c, S_1^o, \leq_2^r\}[/tex:faacdcb2fa]. Soit [tex:faacdcb2fa]\mathcal N[/tex:faacdcb2fa] la structure obtenue à partir de [tex:faacdcb2fa]\mathbb N[/tex:faacdcb2fa] en interprétant les symboles de [tex:faacdcb2fa]\Sigma[/tex:faacdcb2fa] par zéro, successeur et l'ordre des entiers. On note [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa] la théorie de [tex:faacdcb2fa]\mathcal N[/tex:faacdcb2fa], c'est-à-dire l'ensemble des formules de [tex:faacdcb2fa]\mathcal L_\Sigma[/tex:faacdcb2fa] vraies dans [tex:faacdcb2fa]\mathcal N[/tex:faacdcb2fa].

Question 4. Montrer que, si [tex:faacdcb2fa]\mathcal M[/tex:faacdcb2fa] est un modèle de [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa] et si [tex:faacdcb2fa]m[/tex:faacdcb2fa] est un élément de [tex:faacdcb2fa]\mathcal M[/tex:faacdcb2fa], alors l'ensemble des majorants stricts de [tex:faacdcb2fa]m[/tex:faacdcb2fa] admet un plus petit élément.

Question 5. Montrer que l'ordinal [tex:faacdcb2fa]\omega + \omega[/tex:faacdcb2fa] n'est pas modèle de [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa].

Question 6. Montrer que, si [tex:faacdcb2fa]\mathcal M[/tex:faacdcb2fa] est un modèle de [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa], alors [tex:faacdcb2fa]\mathcal N[/tex:faacdcb2fa] est isomorphe à un sous-ensemble du domaine de [tex:faacdcb2fa]\mathcal M[/tex:faacdcb2fa].

Question 7. Montrer qu'il existe un modèle dénombrable de [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa] non isomorphe à [tex:faacdcb2fa]\mathcal N[/tex:faacdcb2fa].

Question 8. Montrer que tous les modèles dénombrables de [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa] qui sont bien ordonnés sont isomorphes à [tex:faacdcb2fa]\mathcal N[/tex:faacdcb2fa].

Question 9. Soit [tex:faacdcb2fa](E, \leq)[/tex:faacdcb2fa] un ensemble totalement ordonné dénombrable. Montrer qu'il existe un modèle dénombrable [tex:faacdcb2fa]\mathcal M[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa] tel que [tex:faacdcb2fa](E, \leq)[/tex:faacdcb2fa] est isomorphe (en tant qu'ensemble ordonné) à un sous-ensemble du domaine de [tex:faacdcb2fa]\mathcal M[/tex:faacdcb2fa].

Exercice 3.

On considère une signature contenant au moins un symbole de constate. Un terme est dit clos s'il ne contient pas de variable. Soit [tex:faacdcb2fa]F(x)[/tex:faacdcb2fa] une formule sans quantificateur contenant [tex:faacdcb2fa]x[/tex:faacdcb2fa] comme seule variable libre. On souhaite prouver le théorème de Herbrand :
    Si [tex:faacdcb2fa]\exists x (F(x))[/tex:faacdcb2fa] est prouvable en logique du premier ordre, alors il existe des termes clos [tex:faacdcb2fa]t_1, ..., t_n[/tex:faacdcb2fa] tels que [tex:faacdcb2fa]F(t_1) \vee ... \vee F(t_n)[/tex:faacdcb2fa] est prouvable.

Un ensemble de termes clos [tex:faacdcb2fa]U[/tex:faacdcb2fa] est un univers de Herbrand pour [tex:faacdcb2fa]F[/tex:faacdcb2fa] si
    [tex:faacdcb2fa]U[/tex:faacdcb2fa] est non vide,
    si [tex:faacdcb2fa]c[/tex:faacdcb2fa] est un symbole de constante apparaissant dans [tex:faacdcb2fa]F[/tex:faacdcb2fa], alors [tex:faacdcb2fa]c[/tex:faacdcb2fa] est dans [tex:faacdcb2fa]U[/tex:faacdcb2fa]
    si [tex:faacdcb2fa]f[/tex:faacdcb2fa] est un symbole d'opération d'arité [tex:faacdcb2fa]k[/tex:faacdcb2fa] apparaissant dans [tex:faacdcb2fa]F[/tex:faacdcb2fa], et si [tex:faacdcb2fa]t_1, ..., t_k[/tex:faacdcb2fa] sont des éléments de [tex:faacdcb2fa]U[/tex:faacdcb2fa], alors [tex:faacdcb2fa]f(t_1, ..., t_k)[/tex:faacdcb2fa] est dans [tex:faacdcb2fa]U[/tex:faacdcb2fa]

Question 10. Montrer comment construire un univers de Herbrand [tex:faacdcb2fa]U[/tex:faacdcb2fa] dénombrable (ou fini) pour [tex:faacdcb2fa]F[/tex:faacdcb2fa].

Question 11. Soit [tex:faacdcb2fa]U[/tex:faacdcb2fa] un univers de Herbrand dénombrable pour [tex:faacdcb2fa]F[/tex:faacdcb2fa]. On suppose que, quelle que soit la suite finie de termes [tex:faacdcb2fa]t_1, ..., t_n[/tex:faacdcb2fa] de [tex:faacdcb2fa]U[/tex:faacdcb2fa], la formule [tex:faacdcb2fa]F(t_1) \vee ... \vee F(t_n)[/tex:faacdcb2fa] n'est pas prouvable.
    (i) Montrer que la théorie [tex:faacdcb2fa]T= \{ \neg F(t) ; t \in U \}[/tex:faacdcb2fa] est consistante.
    (ii) Construire un modèle de [tex:faacdcb2fa]T[/tex:faacdcb2fa] dont tous les éléments sont interprétations d'éléments de [tex:faacdcb2fa]U[/tex:faacdcb2fa] et montrer qu'il ne satisfait pas [tex:faacdcb2fa]\exists x (F(x))[/tex:faacdcb2fa].


Question 12. Prouver le théorème d'Herbrand.


Il y avait encore un problème de théorie des ensembles...
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MessagePosté le: 20 Jan 2007, 12:34    Sujet du message: Répondre en citant

Avant-hier, examen de Langages formels, calculabilité et complexité :

Soit [tex:853555ee30]A[/tex:853555ee30] un alphabet. Un ensemble [tex:853555ee30]X \subset A^*[/tex:853555ee30] est un code sur [tex:853555ee30]A[/tex:853555ee30] si pour tous entiers [tex:853555ee30]m, n \geq 0[/tex:853555ee30] et toute suite [tex:853555ee30]x_1, ..., x_m, x'_1, ..., x'_n[/tex:853555ee30] de mots de [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30], l'égalité [tex:853555ee30]x_1 ... x_m = x'_1 ... x'_m[/tex:853555ee30] implique les égalités [tex:853555ee30]m = n[/tex:853555ee30] et [tex:853555ee30]x_i = x'_i[/tex:853555ee30] pour [tex:853555ee30]1 \leq i \leq m[/tex:853555ee30]. Un sous-monoïde [tex:853555ee30]M = X^*[/tex:853555ee30] engendré par un code [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] est dit libre.
1) Donner lesquels sont des codes parmi les deux ensembles [tex:853555ee30]X_1 = \{ aa, baa, ba \}[/tex:853555ee30] et [tex:853555ee30]X_2 = \{ a, ab, ba \}[/tex:853555ee30].
2) Montrer que [tex:853555ee30]X = a^*b[/tex:853555ee30] est un code. Donner le sous-monoïde engendré par [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30].
3) Montrer que le langage [tex:853555ee30]L_G(S)[/tex:853555ee30] où la grammaire [tex:853555ee30]G[/tex:853555ee30] est donnée par les règles [tex:853555ee30]S \rightarrow aTb, T \rightarrow ST + \epsilon[/tex:853555ee30] est un code. Donner le sous-monoïde engendré.
4) Montrer que si deux codes [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] et [tex:853555ee30]Y[/tex:853555ee30] vérifient [tex:853555ee30]X^* = Y^*[/tex:853555ee30] alors ils vérifient [tex:853555ee30]X=Y[/tex:853555ee30].

1 Algorithme de décision

Soit [tex:853555ee30]X \subset A^*[/tex:853555ee30] un ensemble de mots. On définit par récurrence la suite [tex:853555ee30](X_n)_{n \geq 0}[/tex:853555ee30] par [tex:853555ee30]X_0 = X^{-1}X - \{ \epsilon \}[/tex:853555ee30] et [tex:853555ee30]X_{n+1} = X^{-1}X_n \cup X_n^{-1} X[/tex:853555ee30] pour [tex:853555ee30]n\geq 0[/tex:853555ee30].
5) Montrer que [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] est un code si et seulement si aucun des ensembles [tex:853555ee30]X_n[/tex:853555ee30] ne contient le mot vide.
6) En déduire que si [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] est fini, on peut décider si [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] est un code.
7) Soit [tex:853555ee30]\mu : A^* \rightarrow M[/tex:853555ee30] un morphisme dans un monoïde fini qui reconnaît un langage [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30]. Montrer que pour tout langage [tex:853555ee30]K[/tex:853555ee30], le morphisme [tex:853555ee30]\mu[/tex:853555ee30] reconnaît encore le langage [tex:853555ee30]K^{-1}X[/tex:853555ee30].
8) Déduire de la question précédente qu'on peut décider si un langage rationnel [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] est un code.

2 Enveloppe libre

Un sous-monoïde [tex:853555ee30]M[/tex:853555ee30] de [tex:853555ee30]A^*[/tex:853555ee30] est dit stable si pour tous mots [tex:853555ee30]u, v, w \in A^*[/tex:853555ee30], on a
[tex:853555ee30]u, v, uw, wv \in M \Longrightarrow w\in M[/tex:853555ee30]

9) Montrer qu'un sous-monoïde de [tex:853555ee30]A^*[/tex:853555ee30] est libre si et seulement si il est stable.
10) Montrer que l'intersection d'une famille quelconque de sous-monoïdes libres est encore un sous-monoïde libre. En déduire que pour tout sous-ensemble [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] de [tex:853555ee30]A^*[/tex:853555ee30], il existe un plus petit sous-monoïde libre [tex:853555ee30]Y^*[/tex:853555ee30] contenant [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30]. Ce monoïde est appelé l'enveloppe libre de [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30].
11) Montrer que si [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] est fini et n'est pas un code, on a l'inégalité [tex:853555ee30]\vert Y \vert \leq \vert X \vert - 1[/tex:853555ee30] où [tex:853555ee30]\vert E \vert[/tex:853555ee30] dénote le cardinal d'un ensemble [tex:853555ee30]E[/tex:853555ee30].
12) Montrer que si [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] est rationnel, l'enveloppe libre de [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] est encore rationnelle.

3 Mesures

On appelle mesure sur [tex:853555ee30]A[/tex:853555ee30] un morphisme [tex:853555ee30]\mu : A^* \rightarrow \mathbb R[/tex:853555ee30] telle que [tex:853555ee30]\mu(a) > 0[/tex:853555ee30] pour tout [tex:853555ee30]a \in A[/tex:853555ee30]et [tex:853555ee30]\sum\limits_{a \in A} = 1[/tex:853555ee30]. Pour tout ensemble [tex:853555ee30]X \subset A^*[/tex:853555ee30], on pose [tex:853555ee30]\mu(X) = \sum\limits_{w \in X} \mu(w)[/tex:853555ee30] en admettant la valeur [tex:853555ee30]\infty[/tex:853555ee30].

13) Montrer que pour tous ensembles [tex:853555ee30]X, L \subset A^*[/tex:853555ee30], on a [tex:853555ee30]\mu(KL) \leq \mu(K)\mu(L)[/tex:853555ee30].
14) Montrer que pour tout code [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30], on a
[tex:853555ee30]\mu(X^n) = \mu(X)^n\\
\mu((\epsilon + X)^n) = \sum\limits_{i=1}^n {\mu(X)^n}[/tex:853555ee30]
15) Soit [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30] un code fini. Montrer que [tex:853555ee30]\mu(X) \leq 1[/tex:853555ee30].
16) Montrer que [tex:853555ee30]\mu(X) \leq 1[/tex:853555ee30] pour tout code [tex:853555ee30]X[/tex:853555ee30].

Et puis il y avait encore une dernière partie.
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