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Derivation de tout et n'importe quoi.

 
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
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MessagePosté le: 06 Juil 2005, 8:16    Sujet du message: Derivation de tout et n'importe quoi. Répondre en citant

Touver un produit scalaire sur IR(X).
Soit f:A->IR(X), où A inclus dans IR(X).
On dit que f est dérivable en F0, dans l'intérieur de A lorsque (f(F)-f(F0))/(F-F0) admet une limite quand F->F0. Celle-ci est alors nommée "nombre" dérivé de f en F0, et notée f'(F0)
Devinez quoi, on dit que f est dérivable lorsqu'elle est dérivable en tout point de A. On note alors f' l'application A->IR(X), F->f'(F), appelée application dérivée de f.

Que penser de la dérivabilité de IR(X)->IR(X), F->F' (sisi, on veut dériver la dérivation...) ? Dépend-elle de la norme choisie ?

Soit n\in IN*.
Soit f : A->Mn(IR), où A inclus dans Mn(IR), telle que pour tout M0\inA, M0 point d'accumulation de {M\inA/M-M0\inGLn(IR)}.
On dit que f est dérivable en M0 lorsque (f(M)-f(M0))×(M-M0)^(-1) admet une limite quand M->M0. Celle-ci est alors nommée "nombre" dérivé de f en M0, et notée f'(M0).
On dit que f est dérivable lorsque f est dérivable en tout point de A. On note alors f' l'application A->Mn(IR), M->f'(M), appelée application dérivée de f.

On est aux olympiades de qyuoi, déjà ? De physique ? Ah, bon !
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 06 Juil 2005, 22:20    Sujet du message: Répondre en citant

Suite : Est-ce que par hasard, exp : Mn(IR)->Mn(IR) serait dérivable et sa propre application dérivée (ce serait incroyable, quand même ?)

J'ai trouvé la réponse pour la dérivabilité de la dérivation.

Soit (E,+,.) un anneau.
On appelle dérivation sur E toute application D de E dans E vérifiant :
pour tout (x,y) dans E^2 : D(x+y)=D(x)+D(y) et D(x.y)=D(x).y+x.D(y)

On pose D1(IR(X),IR(X)) l'ensemble des applications dérivables de IR(X) vers IR(X), et D l'application D1(IR(X),IR(X))->(IR(X)^IR(X)), f->f'.
Puis, on définit récursivement D(n+1)(IR(X),IR(X))=D^(-1)<Dn(IR(X),IR(X))> pour n\inIN*, et enfin D\infty(IR(X),IR(X)) l'intersection des Dn(IR(X),IR(X)) pour n\inIN*.
Montrer que la restriction de D à D\infty(IR(X),IR(X)) au départ et à l'arrivée est bien définie et est une dérivation sur D\infty(IR(X),IR(X)).
Idem pour D\infty(Mn(IR),Mn(IR))...

Soit D une dérivation sur un corps IK. Montrer que IK'=D^(-1)<{0}> est un sous-corps de IK.
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 07 Juil 2005, 16:39    Sujet du message: Répondre en citant

Montrer : D est IK' linéaire.
Montrer : si IK est de dim. finie sur IK', D n'est pas surjective.
Trouver un exemple où IK de dim. infinie sur IK' et D n'est pas surjective, un autre où D l'est.

J'avais oublié comme premières questions sur les dérivations : Soit D une dérivation sur E. Montrer que E'=D^(-1)<{0}> est un sous anneau de E. Ses éléments sont appelés constantes.
Soit x\inE. On appelle primitive de x tout élément de D^(-1)<{x}>.
Soit x\inE, admettant une primitive X. Montrer : {u\inE,D(u)=x}=X+E'={X+v,v\inE'}.

Les dérivations sur IR :
Soit D une dérivation sur IR, IK l'ensemble de ses constantes.
Soit A l'ensemble des réels algébriques sur Q. Montrer : A inclus dans IK.
A-t-on nécessairement D=0 (seule question où je n'ai pas la réponse.) ?

Vous saoûlé-je ?
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 09 Juil 2005, 8:49    Sujet du message: Répondre en citant

Bon, je donne les réponses.
Pour le produit scalaire sur IR(X) :
On pose A={X^n,n\inIN}u{1/(X-a)^n,(a,n)\inR×IN}u{1/(X^2+aX+b)^n,(a,b,n)\inIR×IR×IN,a^2<4b},puis B=(a)a\inA.
B base de IR(X), on a donc un prod. scal qui la rend orthonormale (pour deux fractions données, on peut les décomposer sur une même sous-famille finie de B, puis on prend la somme des produits 2 à 2 des coordonnées là-dessus...)

La dérivation des fraction rationnelles n'est pas dérivable, car pas dérivable, en 0, car F'/F n'admet pas de limite quand F->0, car aX->0 quand a->0, et (aX)'/(aX)=1/X->1/X quand a->0, et a->0 quand a->0 et a'/a=0->0 quand a->0, et 1/X<>0. Au passage, ça ne dépend pas de la norme choisie...

Voilà, vous n'avez qu'à chercher les preuves vous-mêmes...
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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