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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 06 Juil 2005, 22:24 Sujet du message: Les plus petits entier possibles... |
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a^2 - 1 = 151*b^2
Trouvez les plus petits entiers satisfaisant l'équation...
... A mon avis, c'est simple... Mais je trouve pas encore mais je le poste pour partager (mais j'essaierai de ne plus lire ce topic ) _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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pierre Matheux(se) cinglé(e)
Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 303
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Posté le: 06 Juil 2005, 23:57 Sujet du message: |
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b = 0 et a = 1? |
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Overlord Être mi-geek mi-globzoule

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 2446 Localisation: Belgique, Louvain-La-Neuve, Bâtiment des Fous.
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Posté le: 07 Juil 2005, 0:55 Sujet du message: |
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tant qu'on y est, b=0 et a=-1 alors... _________________ Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait.
Il y a 11 catégories de gens sur Terre :
- Ceux qui vont sourire à cette blague parce qu'ils connaissent le binaire
- Ceux qui la connaissent et qui connaissent le binaire
- Ceux qui ne comprennent pas
Mais 10 d'entre eux ont VRAIMENT besoin de lâcher leur ordi... |
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Salque Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005 Messages: 3271 Localisation: Salle Info 3 (ou salle Infi si je suis pressé)
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Posté le: 07 Juil 2005, 12:44 Sujet du message: |
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a^2 - 1 = 151*b^2
(a+1)(a-1) = 151*b*b
Jusqu'a preuve du contraire, 151 est premier.
Donc 151|(a+1) ou 151|(a-1).
Ce qui signifie que... ah non ca signifie rien du tout.
Bon on suppose 151|(a+1) (en esperant tres fort que l'autre cas soit analogique). Alors... non en fait je vais pas faire comme ca. (Claude il va pas etre content, c'est vraiment brownien comme approche )
On a en fait b^2 = x(151x-2) = 151x^2 - 2x ou sinon b^2 = x(151x+2) = 151x^2 + 2x.
Essayons de trouver toutes les solutions de ces 2 equations en nombres entiers...
Alors deja, est-ce qu'on peut supposer b et x premiers entre eux ? Sans doute que oui, parce que voyons voir... si b = nb' et x = nx', alors n^2b'^2 = 151n^2x'^2 +/- 2nx', donc on peut tout diviser par n, donc on obtient nb'^2 = 151nx'^2 +/- 2x'. En fait, si on suppose b et n premiers entre eux, on doit introduire un facteur n dans l'equation. (Je dis pas de conneries, la ?...)
Et d'ailleurs je propose de tourner l'equation autrement :
b^2 - 151x^2 = 2x/n, en supposant b et x premiers entre eux. Ensuite il suffira de tout multiplier par n^2 pour trouver une solution de l'equation initiale.
Bon alors quand on l'ecrit de cette facon, on voit immediatement que n|2x... D'ailleurs, on peut meme ecrire
b^2 - 151x^2 = n', ou n' est un diviseur de 2x; ou plus simplement
b^2 - 151x^2 | 2x.
Bon je crois que je tourne en rond la... comme une mouche qui se tape contre les murs et qui ne voit pas la fenetre ouverte .
C'est pas grave, je vous laisse chercher. _________________ Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait. |
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xavier Mathématicien(ne)
Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 1190
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Posté le: 07 Juil 2005, 13:01 Sujet du message: |
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Mais... mais... mais...
Vous ne connaissez pas l'équation de Pell-Fermat... argh... couic... |
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Salque Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005 Messages: 3271 Localisation: Salle Info 3 (ou salle Infi si je suis pressé)
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Posté le: 07 Juil 2005, 13:06 Sujet du message: |
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Mais qu'est-ce que je suis bete... la premiere chose a faire, c'est de chercher a et b qui marchent ! Alors bon on a deja 0 et +-1 (d'ailleurs on peut supposer a et b positifs ou nuls, parce que {a,b} solution <=> {|a|,|b|} solution), donc on a deja 0 et 1.
Par ailleurs, si a = 0 alors 151b^2 < 0 et ca buggue ; si b = 0 on a forcement a = 1. Donc on peut a partir de maintenant supposer a et b strictement positifs.
En fait il faut prendre des petites valeurs de b et regarder quand est-ce que ca fait un carre entier...
b = 1 ; b^2 = 1 ; 151b^2 = 151 ; 151b^2+1 = 152 = pas un carre entier ;
b = 2 ; b^2 = 4 ; 151b^2 = 604 ; 151b^2+1 = 605 = pas un carre entier ;
b = 3 ; b^2 = 9 ; 151b^2 = 1359 ; 151b^2+1 = 1360 = pas un carre entier ;
b = 4 ; b^2 = 16 ; 151b^2 = 2416 ; 151b^2+1 = 2417 = pas un carre entier ;
b = 5 ; b^2 = 25 ; 151b^2 = 3775 ; 151b^2+1 = 3776 = pas un carre entier...
Et si on regardait modulo quelque chose ?
Modulo 2 : si b est pair, alors 151b^2+1 = 1(mod 4) ce qui n'est pas impossible.
Si b est impair, alors b^2 = 1(mod 4), 151b^2 = 151 = 3(mod 4) et 151b^2+1 = 0(mod 4) ce qui n'est pas impossible non plus.
Et au fait modulo 151 ca fait quoi ?
Il faut que a^2=1(mod 151). Quelles sont les solutions possibles ?
0^2 = 0(mod 151)
1^2 = 1(mod 151)
2^2 = 4(mod 151)
...
12^2 = 144(mod 151)
13^2 = 18(mod 151)
14^2 = 45(mod 151)
15^2 = 74(mod 151)
16^2 = 105(mod 151)
17^2 = 138(mod 151)
18^2 = 22(mod 151)
19^2 = 59(mod 151)
20^2 = 98(mod 151)
...
Non en fait je vais pas faire comme ca.
1 = 1^2
152 n'est pas un carre entier.
303 n'est pas un carre entier.
454 n'est pas un carre entier.
605 n'est pas un carre entier.
756 n'est pas un carre entier.
907 n'est pas un carre entier.
1058 n'est pas un carre entier.
1209 n'est pas un carre entier.
1360 n'est pas un carre entier.
1511 n'est pas un carre entier.
1662 n'est pas un carre entier.
1813 n'est pas un carre entier.
1964 n'est pas un carre entier.
2115 n'est pas un carre entier.
2266 n'est pas un carre entier.
2417 n'est pas un carre entier.
2568 n'est pas un carre entier.
2719 n'est pas un carre entier.
2870 n'est pas un carre entier.
3021 n'est pas un carre entier.
3172 n'est pas un carre entier.
...
Bon j'en ai marre. _________________ Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait. |
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Igor Taupin(e) ou équivalent

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 697 Localisation: Beyond your wildest dreams
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Posté le: 07 Juil 2005, 15:22 Sujet du message: |
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xavier a écrit: | Mais... mais... mais...
Vous ne connaissez pas l'équation de Pell-Fermat... argh... couic... |
Ben dans le poly c'est même pas démontré qu'il existe une solution non triviale .
D'ailleurs est-ce que le preuve cette existence fournit un moyen pour trouver la solution minimale non triviale ? |
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xavier Mathématicien(ne)
Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 1190
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Posté le: 07 Juil 2005, 15:35 Sujet du message: |
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Igor a écrit: | Ben dans le poly c'est même pas démontré qu'il existe une solution non triviale .
D'ailleurs est-ce que le preuve cette existence fournit un moyen pour trouver la solution minimale non triviale ? |
Oui, oui, c'est d'ailleurs prévu pour le tome 2 .
Il faut faire le développement en fractions continues de sqrt(151). Enfin « il faut », c'est une méthode systématique, ça... mais on doit pouvoir s'en sortir autrement j'imagine. |
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xavier Mathématicien(ne)
Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 1190
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antony Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005 Messages: 2176 Localisation: Vincennes/Aulnay
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Posté le: 07 Juil 2005, 16:13 Sujet du message: |
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igor > tu peux demander à thn, il fait son tipe dessus je crois |
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Thibaut Geek mutant fou

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 3226 Localisation: MB 318, Montrouge
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Posté le: 07 Juil 2005, 16:26 Sujet du message: |
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C'est quoi un couple d'entier minimal ? Faut pas définir un ordre sur Z^2 ?
Si c'est "la somme des valeurs absolues est minimale", je crois que (-1,0) et (1,0) sont minimales. S'il faut virer les solutions triviales, ben...cf Xavier. |
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Invité
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Posté le: 07 Juil 2005, 16:42 Sujet du message: |
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On a a^2 multiple de 151 plus 1, donc a = 1 ou -1 modulo 151. On pose a= 151 c + d avec d = 1 ou -1.
On a alors :
151^2 * c^2 + 2* 151 c d + 1 -1 = 151 b^2.
151 c^2 + 2 c d = b^2
c=1 -> b^2 = 151 ± 2
c=2 -> b^2 = 604 ± 4
c=3 -> b^2 = 1359 ± 6
c=4 -> b^2 = 2416 ± 8
c=5 -> b^2 = 3775 ± 10
c=6 -> b^2 = 5436 ± 12
c=7 -> b^2 = 7399 ± 14
c=8 -> b^2 = 9664 ± 16
c=9 -> b^2 = 12231 ± 18
c=10 -> b^2 = 15100 ± 20
Bon, c'est pas très très efficace. Au moins on sait que a c'est pas un nombre plus petit que 1660.
Il faut rendre ca plus efficace.
On pose c= 2^f * g avec g impair. On obtient :
151*2^(2f) * g^2 + d * 2^(f+1) * g = b^2
1) f > 0
On a alors 2^(f+1) divise b^2 et 2^(f+2) ne divise pas b^2 donc f est impair.
On a alors, en posant b = 2^((f+1)/2) * h, que :
151 * 2^(f-1) * g^2 + d g = h^2
g * (151 * 2^(f-1) * g + d) = h^2
Les deux facteurs sont premiers entre eux donc g est un carré.
On a donc c = 2^f * i^2
2) f=0
(151 c + 2d) * c = b^2 donc comme les deux facteurs sont premiers entre eux, c est un carré.
En résumé, soit c est un carré, soit il en est le double.
A) c= k^2
151 k^2 + 2d = (b/k)^2 = l^2
On doit donc avoir l^2 congru à 2 ou -2=149 modulo 151.
On a juste à vérifier pour 0< l <= 75. on a alors l^2 <= 5625. on calcule les multiples de 151 jusqu'à 5625:
0 -> -2 - // 2 -
151 -> 149 - // 153 -
302 -> 300 - // 304 -
453 -> 451 - // 455 -
604 -> 602 - // 606 -
755 -> 753 - // 757 -
906 -> 904 - // 908 -
1057 -> 1055 - // 1059 -
1208 -> 1206 - // 1210 -
1359 -> 1357 - // 1361 -
1510 -> 1508 - // 1512 -
1661 -> 1659 - // 1663 -
1812 -> 1810 - // 1814 -
1963 -> 1961 - // 1965 -
2114 -> 2112 - // 2116 = 46^2
2265 -> 2263 - // 2267 -
2416 -> 2414 - // 2418 -
2567 -> 2565 - // 2569 -
2718 -> 2716 - // 2720 -
2869 -> 2867 - // 2871 -
3020 -> 3018 - // 3022 -
3171 -> 3169 - // 3173 -
3322 -> 3320 - // 3324 -
3473 -> 3471 - // 3475 -
3624 -> 3622 - // 3626 -
3775 -> 3773 - // 3777 -
3926 -> 3924 - // 3928 -
4077 -> 4075 - // 4079 -
4228 -> 4226 - // 4230 -
4379 -> 4377 - // 4381 -
4530 -> 4528 - // 4532 -
4681 -> 4679 - // 4683 -
4832 -> 4830 - // 4834 -
4983 -> 4981 - // 4985 -
5134 -> 5132 - // 5136 -
5285 -> 5283 - // 5287 -
5436 -> 5434 - // 5438 -
5587 -> 5585 - // 5589 -
5738 trop
On a donc 46^2 = 2 et 105^2 = 2 (mod 151). ce sont les seules possibilités.
l=46 ou l=105 (mod 151)
d=1.
151 k^2 + 2 = l^2
On pose l = 151 m + 46 j avec j = 1 ou -1.
On a alors :
151 k^2 + 2 = 151^2 m^2 + 46*151*m*j + 14*151 + 2
k^2 = 151 m^2 + 46 m j + 14
m=1 -> c=k^2=165±46
m=2 -> c=k^2=618±92
m=3 -> c=k^2=1373±138
m=4 -> c=k^2=2430±184
m=5 -> c=k^2=3789±230
m=6 -> c=k^2=5450±276
m=7 -> c>7000
bon, là c'est dur à calculer... si c n'est pas le double d'un carré, on a que a>1000000.
B)c=2 k^2
(151 c + 2d) * c = b^2
151 k^2 + d = (b/2k)^2 = l^2
On a vu que 2 est un carré modulo 151 et pas -2, donc -1 n'en est pas un. Donc d=1.
On a 1^2=(-1)^2=1 (modulo 151).
l=151m+j avec j = 1 ou -1.
k^2 = 151 m^2 + 2 m*j
C'est la même équation que 151 c^2 + 2 c d = b^2 avec d'autres lettres, et après un court raisonnement on en déduit qu'on doit pouvoir ramener le problème à l'étude du cas où c est un carré.
Mais ca ne résoud pas le problème...
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Juste une remarque utile dans ce magnifique post :
Ilia : avec ta méthode tu risquais pas d'aboutir, tu aurais du aller jusqu'à au moins 1000000, ca faisait beaucoup. |
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 07 Juil 2005, 17:03 Sujet du message: |
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X = 1728148040 et Y = 140634693
(http://www.ac-orleans-tours.fr/maths-2/lycee/arithm/pell.htm)
Désolé, c'était entiers strictement positifs
EDIT: Oups, j'avais pas vu le:
xavier a écrit: | a = 1728148040
b = 140634693 |
Merci à tous ;)
EDIT2: Surtout Salque, qui s'est donné du mal
EDIT3: Ainsi que Thibaut... remarque ça a pas dû lui demander trop de réflexion...  _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Thibaut Geek mutant fou

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 3226 Localisation: MB 318, Montrouge
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Posté le: 07 Juil 2005, 17:08 Sujet du message: |
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J'ai recopié deux posts initiaux, dont delui de Pierre. |
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Igor Taupin(e) ou équivalent

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 697 Localisation: Beyond your wildest dreams
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Posté le: 07 Juil 2005, 17:55 Sujet du message: |
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Thibaut a écrit: | C'est quoi un couple d'entier minimal ? Faut pas définir un ordre sur Z^2 ?
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Un couple solution (x_0,y_0) de x^2-d.y^2=1 est minimal si, et seulement si, x_0 + sqrt(d).y_0 est minimal. |
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Thibaut Geek mutant fou

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 3226 Localisation: MB 318, Montrouge
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Posté le: 07 Juil 2005, 19:05 Sujet du message: |
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Qvec des valeurs absolues sur x_0 et y_0, non ? |
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Salque Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005 Messages: 3271 Localisation: Salle Info 3 (ou salle Infi si je suis pressé)
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Posté le: 07 Juil 2005, 19:11 Sujet du message: |
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>avec ta méthode tu risquais pas d'aboutir, tu aurais du aller jusqu'à au moins 1000000, ca faisait beaucoup.
Non, je voulais juste savoir quels etaient les nombres dont les carres etaient egaux a 1 modulo 151. Donc j'aurais seulement du aller jusqu'a 151^2 =~ 23000. _________________ Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait. |
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Toumaf Taupin(e) ou équivalent
Inscrit le: 25 Juin 2005 Messages: 738 Localisation: D'vant un problème de maths
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Posté le: 07 Juil 2005, 22:45 Sujet du message: |
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C'est trivialement 1 et -1 : on est dans un corps. |
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 07 Juil 2005, 22:48 Sujet du message: |
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Ouais mais en fait y sont strictement positifs  _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Toumaf Taupin(e) ou équivalent
Inscrit le: 25 Juin 2005 Messages: 738 Localisation: D'vant un problème de maths
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Posté le: 07 Juil 2005, 23:07 Sujet du message: |
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Oui, mais modulo 151 ca change rien. On peut même dire que -1 > 0. |
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