Maths et Délires

[Jill-Jênn]

a^2 - 1 = 151*b^2
Trouvez les plus petits entiers satisfaisant l'équation...

... A mon avis, c'est simple... Mais je trouve pas encore mais je le poste pour partager (mais j'essaierai de ne plus lire ce topic )
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[pierre]

b = 0 et a = 1?

[Overlord]

tant qu'on y est, b=0 et a=-1 alors...
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Il y a 11 catégories de gens sur Terre :
- Ceux qui vont sourire à cette blague parce qu'ils connaissent le binaire
- Ceux qui la connaissent et qui connaissent le binaire
- Ceux qui ne comprennent pas
Mais 10 d'entre eux ont VRAIMENT besoin de lâcher leur ordi...

[Salque]

a^2 - 1 = 151*b^2
(a+1)(a-1) = 151*b*b

Jusqu'a preuve du contraire, 151 est premier.

Donc 151|(a+1) ou 151|(a-1).
Ce qui signifie que... ah non ca signifie rien du tout.
Bon on suppose 151|(a+1) (en esperant tres fort que l'autre cas soit analogique). Alors... non en fait je vais pas faire comme ca. (Claude il va pas etre content, c'est vraiment brownien comme approche )
On a en fait b^2 = x(151x-2) = 151x^2 - 2x ou sinon b^2 = x(151x+2) = 151x^2 + 2x.
Essayons de trouver toutes les solutions de ces 2 equations en nombres entiers...
Alors deja, est-ce qu'on peut supposer b et x premiers entre eux ? Sans doute que oui, parce que voyons voir... si b = nb' et x = nx', alors n^2b'^2 = 151n^2x'^2 +/- 2nx', donc on peut tout diviser par n, donc on obtient nb'^2 = 151nx'^2 +/- 2x'. En fait, si on suppose b et n premiers entre eux, on doit introduire un facteur n dans l'equation. (Je dis pas de conneries, la ?...)
Et d'ailleurs je propose de tourner l'equation autrement :
b^2 - 151x^2 = 2x/n, en supposant b et x premiers entre eux. Ensuite il suffira de tout multiplier par n^2 pour trouver une solution de l'equation initiale.
Bon alors quand on l'ecrit de cette facon, on voit immediatement que n|2x... D'ailleurs, on peut meme ecrire
b^2 - 151x^2 = n', ou n' est un diviseur de 2x; ou plus simplement
b^2 - 151x^2 | 2x.
Bon je crois que je tourne en rond la... comme une mouche qui se tape contre les murs et qui ne voit pas la fenetre ouverte .
C'est pas grave, je vous laisse chercher.
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[xavier]

Mais... mais... mais...
Vous ne connaissez pas l'équation de Pell-Fermat... argh... couic...

[Salque]

Mais qu'est-ce que je suis bete... la premiere chose a faire, c'est de chercher a et b qui marchent ! Alors bon on a deja 0 et +-1 (d'ailleurs on peut supposer a et b positifs ou nuls, parce que {a,b} solution <=> {|a|,|b|} solution), donc on a deja 0 et 1.
Par ailleurs, si a = 0 alors 151b^2 < 0 et ca buggue ; si b = 0 on a forcement a = 1. Donc on peut a partir de maintenant supposer a et b strictement positifs.
En fait il faut prendre des petites valeurs de b et regarder quand est-ce que ca fait un carre entier...
b = 1 ; b^2 = 1 ; 151b^2 = 151 ; 151b^2+1 = 152 = pas un carre entier ;
b = 2 ; b^2 = 4 ; 151b^2 = 604 ; 151b^2+1 = 605 = pas un carre entier ;
b = 3 ; b^2 = 9 ; 151b^2 = 1359 ; 151b^2+1 = 1360 = pas un carre entier ;
b = 4 ; b^2 = 16 ; 151b^2 = 2416 ; 151b^2+1 = 2417 = pas un carre entier ;
b = 5 ; b^2 = 25 ; 151b^2 = 3775 ; 151b^2+1 = 3776 = pas un carre entier...
Et si on regardait modulo quelque chose ?
Modulo 2 : si b est pair, alors 151b^2+1 = 1(mod 4) ce qui n'est pas impossible.
Si b est impair, alors b^2 = 1(mod 4), 151b^2 = 151 = 3(mod 4) et 151b^2+1 = 0(mod 4) ce qui n'est pas impossible non plus.
Et au fait modulo 151 ca fait quoi ?
Il faut que a^2=1(mod 151). Quelles sont les solutions possibles ?
0^2 = 0(mod 151)
1^2 = 1(mod 151)
2^2 = 4(mod 151)
...
12^2 = 144(mod 151)
13^2 = 18(mod 151)
14^2 = 45(mod 151)
15^2 = 74(mod 151)
16^2 = 105(mod 151)
17^2 = 138(mod 151)
18^2 = 22(mod 151)
19^2 = 59(mod 151)
20^2 = 98(mod 151)
...
Non en fait je vais pas faire comme ca.
1 = 1^2
152 n'est pas un carre entier.
303 n'est pas un carre entier.
454 n'est pas un carre entier.
605 n'est pas un carre entier.
756 n'est pas un carre entier.
907 n'est pas un carre entier.
1058 n'est pas un carre entier.
1209 n'est pas un carre entier.
1360 n'est pas un carre entier.
1511 n'est pas un carre entier.
1662 n'est pas un carre entier.
1813 n'est pas un carre entier.
1964 n'est pas un carre entier.
2115 n'est pas un carre entier.
2266 n'est pas un carre entier.
2417 n'est pas un carre entier.
2568 n'est pas un carre entier.
2719 n'est pas un carre entier.
2870 n'est pas un carre entier.
3021 n'est pas un carre entier.
3172 n'est pas un carre entier.
...
Bon j'en ai marre.
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[Igor]

[xavier]

[xavier]

a = 1728148040
b = 140634693

--
Xavier, qui http://www.cena.fr/~sagnier/prive/science/maths/pell_fermat.htm

[antony]

igor > tu peux demander à thn, il fait son tipe dessus je crois

[Thibaut]

C'est quoi un couple d'entier minimal ? Faut pas définir un ordre sur Z^2 ?
Si c'est "la somme des valeurs absolues est minimale", je crois que (-1,0) et (1,0) sont minimales. S'il faut virer les solutions triviales, ben...cf Xavier.

[Invité]

On a a^2 multiple de 151 plus 1, donc a = 1 ou -1 modulo 151. On pose a= 151 c + d avec d = 1 ou -1.
On a alors :

151^2 * c^2 + 2* 151 c d + 1 -1 = 151 b^2.

151 c^2 + 2 c d = b^2

c=1 -> b^2 = 151 ± 2
c=2 -> b^2 = 604 ± 4
c=3 -> b^2 = 1359 ± 6
c=4 -> b^2 = 2416 ± 8
c=5 -> b^2 = 3775 ± 10
c=6 -> b^2 = 5436 ± 12
c=7 -> b^2 = 7399 ± 14
c=8 -> b^2 = 9664 ± 16
c=9 -> b^2 = 12231 ± 18
c=10 -> b^2 = 15100 ± 20


Bon, c'est pas très très efficace. Au moins on sait que a c'est pas un nombre plus petit que 1660.
Il faut rendre ca plus efficace.

On pose c= 2^f * g avec g impair. On obtient :

151*2^(2f) * g^2 + d * 2^(f+1) * g = b^2

1) f > 0

On a alors 2^(f+1) divise b^2 et 2^(f+2) ne divise pas b^2 donc f est impair.
On a alors, en posant b = 2^((f+1)/2) * h, que :

151 * 2^(f-1) * g^2 + d g = h^2
g * (151 * 2^(f-1) * g + d) = h^2

Les deux facteurs sont premiers entre eux donc g est un carré.

On a donc c = 2^f * i^2

2) f=0

(151 c + 2d) * c = b^2 donc comme les deux facteurs sont premiers entre eux, c est un carré.

En résumé, soit c est un carré, soit il en est le double.


A) c= k^2

151 k^2 + 2d = (b/k)^2 = l^2

On doit donc avoir l^2 congru à 2 ou -2=149 modulo 151.

On a juste à vérifier pour 0< l <= 75. on a alors l^2 <= 5625. on calcule les multiples de 151 jusqu'à 5625:

0 -> -2 - // 2 -
151 -> 149 - // 153 -
302 -> 300 - // 304 -
453 -> 451 - // 455 -
604 -> 602 - // 606 -
755 -> 753 - // 757 -
906 -> 904 - // 908 -
1057 -> 1055 - // 1059 -
1208 -> 1206 - // 1210 -
1359 -> 1357 - // 1361 -
1510 -> 1508 - // 1512 -
1661 -> 1659 - // 1663 -
1812 -> 1810 - // 1814 -
1963 -> 1961 - // 1965 -
2114 -> 2112 - // 2116 = 46^2
2265 -> 2263 - // 2267 -
2416 -> 2414 - // 2418 -
2567 -> 2565 - // 2569 -
2718 -> 2716 - // 2720 -
2869 -> 2867 - // 2871 -
3020 -> 3018 - // 3022 -
3171 -> 3169 - // 3173 -
3322 -> 3320 - // 3324 -
3473 -> 3471 - // 3475 -
3624 -> 3622 - // 3626 -
3775 -> 3773 - // 3777 -
3926 -> 3924 - // 3928 -
4077 -> 4075 - // 4079 -
4228 -> 4226 - // 4230 -
4379 -> 4377 - // 4381 -
4530 -> 4528 - // 4532 -
4681 -> 4679 - // 4683 -
4832 -> 4830 - // 4834 -
4983 -> 4981 - // 4985 -
5134 -> 5132 - // 5136 -
5285 -> 5283 - // 5287 -
5436 -> 5434 - // 5438 -
5587 -> 5585 - // 5589 -
5738 trop


On a donc 46^2 = 2 et 105^2 = 2 (mod 151). ce sont les seules possibilités.

l=46 ou l=105 (mod 151)
d=1.

151 k^2 + 2 = l^2

On pose l = 151 m + 46 j avec j = 1 ou -1.

On a alors :

151 k^2 + 2 = 151^2 m^2 + 46*151*m*j + 14*151 + 2

k^2 = 151 m^2 + 46 m j + 14

m=1 -> c=k^2=165±46
m=2 -> c=k^2=618±92
m=3 -> c=k^2=1373±138
m=4 -> c=k^2=2430±184
m=5 -> c=k^2=3789±230
m=6 -> c=k^2=5450±276
m=7 -> c>7000

bon, là c'est dur à calculer... si c n'est pas le double d'un carré, on a que a>1000000.

B)c=2 k^2

(151 c + 2d) * c = b^2

151 k^2 + d = (b/2k)^2 = l^2

On a vu que 2 est un carré modulo 151 et pas -2, donc -1 n'en est pas un. Donc d=1.
On a 1^2=(-1)^2=1 (modulo 151).

l=151m+j avec j = 1 ou -1.


k^2 = 151 m^2 + 2 m*j


C'est la même équation que 151 c^2 + 2 c d = b^2 avec d'autres lettres, et après un court raisonnement on en déduit qu'on doit pouvoir ramener le problème à l'étude du cas où c est un carré.
Mais ca ne résoud pas le problème...

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Juste une remarque utile dans ce magnifique post :

Ilia : avec ta méthode tu risquais pas d'aboutir, tu aurais du aller jusqu'à au moins 1000000, ca faisait beaucoup.

[Jill-Jênn]

X = 1728148040 et Y = 140634693

(http://www.ac-orleans-tours.fr/maths-2/lycee/arithm/pell.htm)

Désolé, c'était entiers strictement positifs

EDIT: Oups, j'avais pas vu le:

[Thibaut]

J'ai recopié deux posts initiaux, dont delui de Pierre.

[Igor]

[Thibaut]

Qvec des valeurs absolues sur x_0 et y_0, non ?

[Salque]

>avec ta méthode tu risquais pas d'aboutir, tu aurais du aller jusqu'à au moins 1000000, ca faisait beaucoup.

Non, je voulais juste savoir quels etaient les nombres dont les carres etaient egaux a 1 modulo 151. Donc j'aurais seulement du aller jusqu'a 151^2 =~ 23000.
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[Toumaf]

C'est trivialement 1 et -1 : on est dans un corps.

[Jill-Jênn]

Ouais mais en fait y sont strictement positifs
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[Toumaf]

Oui, mais modulo 151 ca change rien. On peut même dire que -1 > 0.