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Exo marrant (suites et fonctions)

 
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 01 Déc 2006, 18:57    Sujet du message: Exo marrant (suites et fonctions) Répondre en citant

Soit f : IR+*->IR, qui vérifie : pour tout réel x, lim(n->oo) f(nx) = 0.

1) On suppose que f est uniformément continue. Montrer que lim(x->+oo) f(x) = 0.
(Niveau de difficulté : trivial.)

2) On ne fait aucune hypothèse sur f ; trouver alors un contre-exemple à la question précédente (i. e. une fonction f, pas forcément continue, qui ne tend pas vers 0.)
(Niveau de difficulté : complètement trivial.)

3) On suppose maintenant seulement que f est continue. Le résultat est-il toujours vrai ? Si oui, démontrer ; si non, trouver un contre-exemple.
(Niveau de difficulté : assez non-trivial... on a mis 40 minutes à trouver avec Bruno. Amusez-vous bien !)
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AnalyX
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MessagePosté le: 01 Déc 2006, 19:57    Sujet du message: Répondre en citant

1/ on fixe e>0 il existe k> 0 tel que d(x,y) <k => d(f(x),f(y))<e/2
prenons x<k alors soit n0 tel que n>= n0 => d(f(nx),0)<e/2

soit x1 > (x n0) +k ; soit q le plus petit entier (donc q>n0) tel que qx <= x1<(q+1)x

alors d(qx,x1) <k donc d(f(x1),0)<=d(f(x1),f(qx))+d(f(qx),0)<= e

d'ou f -> 0


Dernière édition par AnalyX le 01 Déc 2006, 20:22; édité 1 fois
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AnalyX
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MessagePosté le: 01 Déc 2006, 20:07    Sujet du message: Répondre en citant

2/ f= 1/x si x n'est pas une racine d'un nombre premier et f(x)=1 sinon.

Dernière édition par AnalyX le 02 Déc 2006, 11:53; édité 1 fois
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 01 Déc 2006, 23:17    Sujet du message: Répondre en citant

1) Tout à fait.

2) Pourquoi 1/x ? T'aurais pu dire 0, tout simplement. (C'est vrai, bien entendu)

3) Je ne comprends pas du tout ton argument... peux-tu m'expliquer ce que tu entends par la "restriction de f sur l'ensemble des sommes de kx" ?
Si jamais il tu parles de l'ensemble des nombres de la forme kx, déjà, cet ensemble est tout simplement IR+*, car tout réel peut être représenté comme produit d'un réel et d'un entier. Ensuite, le fait que toutes les suites de la forme f(kx) tendent vers 0 n'implique pas forcément que la restriction de f à l'ensemble concerné tend vers 0 : toutes les suites ne convergent pas à la même vitesse. Par exemple, si f(n) = 1/n, f(nPi) = Pi/n, f(n*Pi^2) = Pi^2/n, toutes les suites tendent vers 0 mais leur union ne tend pas vers 0. Donc ton argument me semble complètement faux.
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MessagePosté le: 02 Déc 2006, 11:54    Sujet du message: Répondre en citant

en effet je me retracte Mr. Green
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 02 Déc 2006, 14:20    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
Ensuite, le fait que toutes les suites de la forme f(kx) tendent vers 0 n'implique pas forcément que la restriction de f à l'ensemble concerné tend vers 0 : toutes les suites ne convergent pas à la même vitesse. Par exemple, si f(n) = 1/n, f(nPi) = Pi/n, f(n*Pi^2) = Pi^2/n, toutes les suites tendent vers 0 mais leur union ne tend pas vers 0.

Qu'appelles-tu leur union pour qu'elle ne tende pas vers 0 ?
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AnalyX
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MessagePosté le: 02 Déc 2006, 15:07    Sujet du message: Répondre en citant

je pense qu'il voulait dire que pour tout k les suites f((pi^k)*n) tendent vers zéro, mais que la suite des suites f((pi^k)*n) ne tend pas vers la suite nulle.
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tiou-tiou
Être humain normal


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MessagePosté le: 02 Déc 2006, 15:37    Sujet du message: Re: Exo marrant (suites et fonctions) Répondre en citant

Salque a écrit:
Soit f : IR+*->IR, qui vérifie : pour tout réel x, lim(n->oo) f(nx) = 0. 3) f C°


Ca se torche avec Baire, à la main ça doit être plutôt pénible en effet ...
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Salque
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MessagePosté le: 04 Déc 2006, 0:34    Sujet du message: Répondre en citant

Analyx : C'est plutôt que la fonction définie sur {x|x=nPi^k} de telle sorte qu'elle contienne toutes ces suites ne tend pas vers 0.

Tiou-Tiou : Igor m'a effectivement dit que ça se thôrchait avec le théorème de Baire... le problème, c'est que je n'ai pas compris ce que c'est.
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AnalyX
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MessagePosté le: 04 Déc 2006, 17:51    Sujet du message: Répondre en citant

en tout cas, baire ou pas je suis intéréssé par la solution :)
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