Exercice 1: (solution)

Prouver que pour tout n , 2 x 6 x 10 x ... x (4n-6) est un multiple de n!.


Exercice 2: (solution)

On note pour la racine cubique. Soit:
A = ( 24 + (24 + ...+(24))) , où la racine cubique est écrite 2003 fois.
Déterminer la partie entière de A.


Exercice 3: (solution)

Posons x = (2) + (2003). Trouver un polynôme à coefficients entiers qui admet x comme racine.


Exercice 4: (solution)

Montrer que l'équation:
x3 + y3 + z3 = 19692
n' a pas de solutions entières.
Indications: Etudier les cubes modulos 3 et 19692 modulo 3 ou 9.


Exercice 5: (solution)

Trouver le minimum de
a et b sont dans (soit [ 0 ; + ] )


Exercice 6: (solution)

On donne deux entiers a et n strictement supérieurs à 1. On note q le quotient euclidien de an par a - 1.
Montrer que PGCD(q, a - 1) = PGCD(n, a - 1).


Exercice 7: (solution)

Soit x un réel, n et m dans et PGCD(n, m) = d
Montrer l'équivalence suivante:
xn et xm sont dans <==> xd est dans


Exercice 8: (solution)

Montrer que
ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) 6abc

où a , b et c sont dans (soit [ 0 ; + ] )
Quand a-t-on égalité ?

Indications:
1) Pour A > 0, on a A + 1/A 2, et on a égalité pour A = 1
2) Diviser par abc


Exercice 9: (solution)

Résoudre le système suivant dans 2

{x + y = 150
{PGCD( x , y ) = 30


Exercice 10: (solution)

Soit f la fonction indicatrice d'Euler.
On note un nombre se décomposant en facteur premier ainsi:
n =
Montrer que:
f(n) =

Indication : utiliser la méthode du crible d'Eratosthene