Exercice 11: (solution)

On définit d'abord:
1) E(x) est la partie entière de x réel, l'unique entier tel que
E(x) x < E(x) + 1
2) On appelle la partie fractionnaire de x
3) x - E(x) noté {x}

Dans toute la suite x et y sont des réels.
Démontrer que :
a) E(x + m) =E(x) + mm est dans
b) E(x) + E(y) E(x + y) E(x) + E(y) +1
c) E(x) + E(x + 1/2003) + E(x + 2/2003) +...+
E(x + 2002/2003) = E(2003x)


Exercice 12: (solution)

Calculer la somme:
S = 3/4 + 5/36 + 7/144 + ..+ (2k+1)/(k2 x (k+1)2)+
....+ 4007/(20032 x 20042)
Idée: Ecrire (2k+1)/(k2 x (k+1)2 ) comme la difference de deux termes consécutifs d'une suite numériques.


Exercice 13: (solution)

Montrer que tous les termes de la suite u définie par:
un = n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)
sont multiples de 30.

Montrer que tous les termes de la suite v définie par:

vn = n2(n+1)2(2n2+2n-1)
sont multiples de 12


Exercice 14:

Soient P1,...,Pn des points du plan tels que pour tous Pi, Pj il existe Pk avec angle(PiPkPj) = 60 degrés
Montrer que n = 3


Exercice 15: (solution)

Résoudre dans 2 :

1/x + 1/y = 1/2003


Exercice 16: (solution)

Trouver le nombre de termes differents dans la suite
E(k2/1998) ou k = 1 ; 2 ; ... ; 1997
E(x) est la partie entiere de x.


Exercice 17: (solution)

Montrer que tout rationnel positif peut s'ecrire sous la forme (a3 + b3)/(c3+d3), ou a , b , c, d sont des entiers naturels,
(c3+d3) non nul.