Enoncé :

Soient un entier et un lacet tel que . On suppose que est de classe et que la dérivée ne s’annule pas sur . Montrer alors que l’on peut trouver une fonction strictement croissante de dans lui-même telle que soit continue et injective.

Démonstration :

Notons l’ensemble suivant :

On va montrer tout d’abord que est fermé. Pour cela, on considère une suite d’éléments de qui converge vers un et on veut montrer que . Pour tout entier , on choisit un réel tel que . Par compacité de , on peut supposer que la suite converge vers et on a déjà et . Il suffit donc de montrer que .

Supposons le contraire. Pour tout , il va exister des réels dans l’intervalle tels que la -ème coordonnée de soit nulle. On obtient ainsi par continuité de , , ce qui contredit l’hypothèse. On a ainsi bien ce que l’on désirait.

En particulier pour tout l’ensemble admet un plus petit élément.

Maintenant si est vide, on a gagné. Si ce n’est pas le cas, on considère son plus petit élément, disons . On définit ensuite . Exactement le même argument que précédemment prouve que .

Bon maintenant on continue. Si , on a gagné. Sinon, on considère son plus petit élément et on construit ...

Il ne reste plus qu’à montrer que ce processus prend fin au bout d’un nombre fini d’étapes. Supposons que ce ne soit pas le cas. On peut alors construire des suites et vérifiant et . Les suites et convergent alors vers une limite commune .

Comme précédemment, on choisit pour tout des réels dans l’intervalle tels que la -ème coordonnée du vecteur . On obtient alors , d’où la contradiction et l’énoncé.