Voici des sujets de réflexion de niveau relativement modeste (deux années après le bac, disons) assez peu détaillés et vaguement laissés à l'abandon. Il s'agit en général d'exercices ou de problèmes plus ou moins concrets et naturels que l'on cherche à résoudre sans pourtant y trouver une solution complète. Nombre de ces textes pourront par exemple intéresser des élèves ou des professeurs de spé qui cherchent des exercices de khôlle ou des sujets de TIPE (le thème a sans doute changé depuis le temps, mais si mes souvenirs sont bons des efforts considérables sont faits pour trouver des titres différents chaque année mais qui englobent toujours tous les sujets possibles) :
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La courbe du chien
Un homme marche droit devant lui, sans se retourner, inlassablement, sur une plage par un sombre matin d'hiver. Son chien le suit. Tout d'un coup, il aperçoit une poubelle et se met à courir vers elle, espérant y trouver ce que les chiens espèrent trouver dans les poubelles. Son maître n'y prête pas attention, poursuit son chemin perdu dans ses pensées. Son marché terminé, le chien décide de revenir aux côtés de son maître, il fonce donc droit vers lui, mais celui-ci ne l'attend pas bien entendu, il ne s'est d'ailleurs sans doute même pas aperçu qu'il était parti. Quel est la trajectoire que va décrire le chien afin de rattraper notre promeneur solitaire ?
Des sommes, des sommes et encore des
sommes
Si (u_i) est une famille sommable, on sait que sommer ses éléments dans n'importe quel ordre n'influencera pas le résultat final. Mais on peut imaginer plein d'autres façons de réaliser la somme de cette famille. On peut par exemple faire deux paquets et sommer chacun indépendemment. On peut aussi faire une infinité de paquets puis obtenir ainsi une nouvelle famille que l'on somme encore un peu comme on veut. On peut intervertir l'ordre dans chacun de ces paquets, voire refaire des paquets à l'intérieur. On décrit ici toute une floppée de méthodes pour faire ces sommes et on prouve encore que le résultat ne dépend pas de la méthode choisie.
Un problème physique présenté à la
Villette
Un moulin qui tourne, de l'eau qui l'entraîne, un problème physique qui admet une solution chaotique... tout pour plaire. Le seul problème est que ce texte est loin d'être terminé et que je n'arrive pas non plus à retrouver tous le jolis dessins et jolies expériences qui en faisaient l'attrait. Donc si ça vous amuse, essayez de refaire ces calculs, et envoyez moi les résultats s'il vous plait.
Le théorème de Morley
Le théorème dit que lorsque l'on trace les trisectrices des trois angles d'un triangle quelconque, les points d'intersection obtenus sont les sommets d'un triangle équilatéral. Il est en général réputé pour amener les démonstrations pénibles et calculatoires. L'une d'entre elles, proposée par Alain Connes, est assez connu pour être relativement simple, mais celle proposée ici (je ne sais pas qui en est l'auteur initialement, je l'ai entendu dans un cours de géométrie à un stage Animath) est assez impressionnante, me semble-t-il. Bonne lecture.
Voici quelques exercices que j'ai pris la peine de rédiger, et qui doivent donc revêtir un certain intérêt :
