Mathematic Park

J'organise un dimanche par mois un groupe de travail à l'ENS auxquels participent des élèves de lycée et de prépa. Les séances sont en général longues et présentent un sujet de mathématique contemporaine de façon accessible.

Un livre regroupant les notes prises à la suite de ces exposés est à paraître. C'est la raison pour laquelle lesdites notes ne sont pas disponibles en ligne. Vous pouvez toutefois consulter les titres des exposés et le nom des intervenants.

De nombreuses personnes participent à ce groupe de travail en tant qu'intervenant potentiel. Voici une liste qui va probablement être amenée à évoluer : Pierre Bornsztein, Xavier Caruso, Fanny Kassel, Yann Ollivier, Moubinool Omarjee, Vincent Nesme, Joël Riou, Sandra Rozensztajn, Mehdi Tibouchi, Dimitri Zvonkine.

Voici par ordre chronologique la liste des exposés donnés :

(Cliquez sur le pour faire apparaître un résumé)

• Bons ordres sur N

  J'ai donné cet exposé le 27 avril 2003. On s'intéresse dans cet exposé à la théorie des ordinaux récursifs. Un ordinal est un ensemble muni d'un bon ordre : cela signifie que chaque fois que l'on a deux éléments de l'ensemble, on sait dire lequel est le plus petit, et que chaque fois que l'on a une partie non vide de l'ensemble, on sait lui trouver un plus petit élément. Le premier exemple primordial d'ordinal est l'ensemble des entiers N muni de l'ordre que l'on connaît tous.
  On cherche, dans cet exposé, à décrire d'autres ordinaux de façon explicite, c'est-à-dire décrite par un programme informatique, ou du moins par un algorithme.

• 

  Cet exposé a été donné par Dimitri Zvonkine le 25 mai 2003. Étant donné un polynôme (suffisamment régulier) à coefficients complexes, on peut regarder l'image réciproque (dans C) du segment [0,1]. On obtient alors un graphe, précisément un arbre, que l'on appelle un dessin d'enfant.
  Le but de cet exposé est d'expliquer plus en détails la situation et de préciser comment des transformations naturelles sur les complexes (par exemple transformer √21 en -√21) se repercutent sur les arbres.

• Concentration de la mesure

  Cet exposé a été donné par Yann Ollivier le 8 juin 2003. Si l'on lance un grand nombre de fois une pièce de monnaie et que l'on note respectivement le nombre de « pile » et de « face » obtenues, on obtiendra probablement des nombres comparables. Précisément la loi de grands nombres dit que l'écart observé ne varie pas plus que la racine carrée du nombre de lancers.
  Autrement dit, la fonction {0,1}ⁿ→N, qui a une suite de n éléments de {0,1} associe leur somme, est presque constante égale à n/2. On se demande de quelle façon ce théorème peut s'énoncer proprement, puis se généraliser.

• Le théorème de Sarkovskii

  Cet exposé a été donné par Olivier Benoist (juste après être entré en prépa) le 14 septembre 2003. Soit f une fonction continue du segment [0,1] dans lui-même qui admet un point de période 3, c'est-à-dire qui est telle qu'il existe un réel x tel que f(x) ≠ x et f(f(f(x))) = x. Alors, f admet un point de période n pour tout entier n.
  Cet exposé démontre et généralise ce résultat.

• Les groupes de Coxeter

  Cet exposé a été donné par Joël Riou le 12 octobre 2003. Considérons un pentagone régulier et traçons l'ensemble de ses axes de symétrie appelés les murs. Ils délimitent certaines parties du plan, naturellement les chambres. On remarque deux choses. Premièrement le nombre de chambres est le même que le nombre de transformations (symétries et rotations) laissant fixe le pentagone. Deuxièmement, chaque des tranformations précédentes peut s'écrire comme la composée des symétries par rapport aux murs d'une même chambre.
  Ces constatations se vérifient encore sur tous les polygônes réguliers et aussi sur des figures spatiales (il faut alors considérer les plans de symétries) telles le cube ou le tétraèdre. Le but de cet exposé est de fixer un cadre suffisamment général pour expliquer ces phénomènes.

• Discussions rationnelles d'une courbe et d'un triangle

  Cet exposé a été donné par Mehdi Tibouchi le 9 novembre 2003. Quels sont les entiers qui sont l'aire d'un triangle rectangle à côtés rationnels ? Cette question a priori naïve, bien que très vieille, ne connaît toujours pas de réponse satisfaisante, sinon conjecturale.
  On explique, ici, comment ce problème est rélié à l'étude des courbes elliptiques et comment sa résolution fait intervenir des mathématiques très actuelles.

• Colorie-moi le ciel !

  Cet exposé a été donné par Pierre Bornsztein le 14 décembre 2003. Des problèmes de coloriage... en veux-tu ? en voilà ! L'idée directrice est celle qui est sous-jacente aux théorèmes de Ramsey : si l'on colorie une certaine structure suffisamment grande avec un nombre suffisamment petit de couleurs, on va forcément trouver une configuration monochrome.
  Par exemple, de façon très immédiate, si l'on colorie le plan en 2 couleurs, on va forcément trouver deux points à distance 1 de même couleur. Ce théorème se généralise ainsi : si l'on colorie le plan en un nombre fini de couleurs, et que l'on se donne un ensemble fini de points dans ce plan, il existe une homothétie qui envoie cet ensemble fini sur un ensemble monochrome.

• Choisissez votre corps !

  J'ai donné cet exposé le 12 janvier 2004. Un corps est un ensemble de nombres que l'on sait additionner, soustraire, multiplier et diviser. Par exemple Q, R ou C sont des corps, mais ce ne sont pas les seuls.
  On étudie dans un premier temps les corps finis, et établissons leur classification. On s'intéresse à d'autres corps plus gros, souvent appelés corps locaux : moralement les éléments du corps finis vont être les chiffres et on s'efforce d'écrire des nombres à partir de ces briques.

• Le lycée en Roumanie

  Cet exposé a été donné par Moubinool Omarjee le 15 février 2003. Moubinool commence par donner les programmes de mathématiques en Roumanie des classes de niveau équivalent à celui de seconde, première et terminale. La comparaison avec le programme français est alors vite faite.
  Après avoir présenté les notions nécessaires, il pose des exercices tirés de livres et de compétitions roumaines.

• Le théorème de la griotte et de la pastèque

  Cet exposé a été donné par Tuong-Huy Nguyen (élève de terminale) le 14 mars 2004. Le paradoxe de Banach-Tarski dit qu'il est possible de découper une griotte (petite cerise) en un nombre fini de morceaux, puis de déplacer ces morceaux et de les recomposer pour en faire une pastèque. Ceci est paradoxal car en contradiction flagrante avec la notion de volume.
  Le but de cet exposé est justifier de clarifier la notion de volume puis de donner une preuve du paradoxe de Banach-Tarski.

• Groupe de monodromie d'un polynôme complexe

  Cet exposé a été donné par Fanny Kassel le 25 avril 2004. Après avoir défini le groupe fondamental d'un espace topologique (de façon assez précise, mais également assez imagée), on s'intéresse aux revetements (ramifiés) de C dans C donné par un polynôme. On montre comment le groupe fondamental du plan complexe privé des points de ramification agit sur les racines du polynôme, définissant un sous-groupe d'un groupe de permutation appelé groupe de monodromie.

• Théorie de la démonstration

  Cet exposé a été donné par Alexis Saurin le 23 mai 2004. Il traite de logique pure, présentée par l'intermédiaire du calcul des séquents. Après avoir donné les lois de la logique classique, on essaie de les transformer légèrement et on obtient ce qui est appelé la logique intuitionniste. Le théorème fondamental dans ce deux cas est celui dit d'élimination des coupures, qui, en langage classique, affirme que tout preuve contenant peut se faire sans lemme, au prix d'une augmentation extraordinaire de la taille de la démonstration. Ainsi l'imagination du mathématicien qui se traduit par l'introduction et la formulation du bon lemme n'est pas strictement nécessaire mais le devient si l'on souhaite avoir des preuves lisibles.
  Après cela, on évoque le lien entre preuve et calcul, un corollaire de plus du théorème d'élimination des coupures.

• L'exercice 3 de l'envoi ω

  J'ai donné cet exposé le 27 juin 2004. On crée un parallèle assez impressionnant entre des problèmes purement combinatoires et des problèmes d'algèbre bilinéaire (sur le corps fini à 2 éléments). On résout grâce à cela le problème suivant : soit E un ensemble fini de cardinal n et soient A₁, ..., A_k des parties de E de cardinal pair (ou impair) dont les intersections deux à deux sont de cardinal pair (ou impair). Le but est de donner une majoration de k en fonction de n.
  Un article dont l'objet est d'exposer cette théorie est paru dans la RMS 114 no3.

• Les quaternions

  Cet exposé a été donné par François Lo Jacomo le 26 septembre 2004. On y présente les quaternions et on montre leur utilité en mettant en parallèle l'étude des sommes de deux carrés et celle des sommes de quatre carrés. En particulier, on remarque que la non-commutativité du corps des quaternions est souvent un obstacle, mais pas toujours infranchissable.
  On explique ensuite les rapports entre quaternions et géométrie. En particulier, on montre qu'ils permettent de classifier les rotations de l'espace.

• Jonglage et automates

  Cet exposé a été donné par Jean-Christophe Novelli et Florent Hivert le 24 octobre 2004. On commence par établir une modélisation d'un jonglage (essentiellement, un jonglage est la donnée d'une suite de lancers de balles qui vont rester en l'air un certain temps, fixé) que l'on étudie grâce à la théorie des automates. Fort de cette appui mathématique, on détermine tous les jonglages à trois balles, puis on donne une formule pour dénombrer les jonglages ayant un nombre de balles fixé et se faisant dans une pièce dont la hauteur du plafond est également fixée (cette limitation donne une majoration du temps maximal qu'une balle peut rester en l'air sans être relancée).

• Transformée de Fourier rapide

  Cet exposé a été donné par Igor Kortchemski (élève de terminale) le 28 novembre 2004. Multiplier deux entiers est une chose que l'on apprend dans les petites classes. Mais est-ce bien la meilleure méthode (c'est-à-dire celle qui demande le moins de calcul pour parvenir au résultat) que l'on nous enseigne. Pour des petits nombres, c'est sûrement le cas. Par contre, dès que les nombres deviennent grands (plus de 50 chiffres), il existe des méthodes plus efficaces.
  On présente dans cet exposé l'un entre elles, communément appelée FFT, et qui est vraiment utile seulement pour les très grands nombres. C'est par ailleurs aujourd'hui la meilleure que l'on connaisse.

• Graphes électriques planaires

  Cet exposé a été donné par Raphaël Beuzart-Plessis (élève de prépa) le 16 janvier 2005. On branche dans une boîte noire une série des fils avec des résistances. Quelques uns de ces fils sortent de la boîte, de sorte que l'on puisse imposer des tensions et mesurer des courants. On se demande alors dans quelle mesure, la seule connaissance des résultats des expériences électriques permet de reconstituer le circuit à l'intérieur de la boîte.
  On s'intéresse en réalité au cas pour particulier où l'on sait qu'à l'intérieur de la boîte aucun fil n'en croise un autre (c'est la signification de l'adjectif planaire). Dans ce cas, on prouve que la réponse électrique permet de reconstruire approximativement le circuit.

• Aspects commutatifs de la géométrie non-commutative.

  Cet exposé a été donné par Martin Andler le 20 février 2005. On montre comment l'on fait correspondre à un objet purement géométrique (en l'occurrence un espace métrique compact) un objet purement algébrique (en l'occurrence une R-algèbre). On étudie ensuite cette correspondance : on montre en particulier qu'elle est « bijective » dans le sens où la donnée de la R-algèbre permet de reconstruire l'espace métrique, puis on s'attarde à expliquer comment les propriétés géométriques se lisent sur la description algébrique et vice et versa.

• Géométrie sphérique et hyperbolique

  Cet exposé a été donné par Dimitri Zvonkine le 3 avril 2005. On présente deux espaces, à savoir la sphére et le plan de Lobatchevski, sur lesquels on est capable de faire de la géométrie. Cette géométrie peut paraître déroutante au premier abord puisqu'il n'est plus vrai que par un point, il passe une et une unique parallèle à une droite fixée. Toutefois, on s'aperçoit que ce n'est pas grave, et que l'on obtient quand même une théorie cohérente.
  On s'attarde ensuite à généraliser à ces nouvelles géométries les relations métriques et trigonométriques dans les triangles. En particulier, on obtient une nouvelle version du théorème de Pythagore et de la loi des sinus.

• Résolubilité des équations algébriques

  Cet exposé a été donné par Farouk Boucekkine le 22 mai 2005. On introduit, de façon très concrète et très proche des équations, les idées de la théorie de Galois. On expose ensuite de façon plus actuelle les principaux résultats de la théorie et on les utilise pour donner explicitement une équation de degré 5 qui n'est pas résoluble par radicaux.

• Équations algébriques dans les corps locaux

  J'ai donné cet exposé le 19 juin 2005. Il fait suite à l'exposé précédent (Résolubilité des équations algébriques) mais montre un aspect différent du problème puisqu'on construit des ensembles de nombres dans lesquels les équations algébriques sont toutes résolubles par radicaux, quel que soit leur degré.
  On traite d'abord le cas du corps des séries formelles, à savoir C((t)), puis celui des nombres p-adiques. Ces deux exemples font partie d'une famille beaucoup plus large formée par ce que l'on appelle les corps locaux.

• Bonnes suites et permutations

  Cet exposé a été donné par Igor Kortchemski (élève de terminale) le 26 juin 2005. Il s'agit d'un travail effectué par Igor à l'occasion de sa participation au Clay Research Academy au Clay Institute au mois d'avril 2005.
  On présente dans cet exposé la notion de bonne suite (il s'agit d'une suite de nombre dans laquelle le nombre k apparaît avant la dernière occurrence de k-1). On montre ensuite qu'il existe une bijection naturelle entre l'ensemble des bonnes suites de longueur n et l'ensemble des permutations de {1,...,n}. On dégage finalement plusieurs propriétés de cette bijection, ce qui permet d'établir des statistiques sur les bonnes suites.

• Formule des équerres

  J'ai donné cet exposé le dimanche 2 octobre 2005. Une partition de l'entier n est une suite décroissante (n_1, ..., n_d) de nombres strictement positifs dont la somme fait n. On associe à une telle partition un diagramme d'Young : c'est un tableau formé de n_1 cases sur la première ligne, de n_2 sur la seconde et ainsi de suite.
  La formule des équerres donne le nombre de façons qu'il y a de remplir les cases d'un diagramme d'Young par les nombres de 1 à n de telle sorte que les suites écrites sur chaque ligne et sur chaque colonne soient croissantes. On donne dans cet exposé deux démonstrations de cette formule : l'une se fait par récurrence et l'autre en exhibant une bijection.

• Représentations complexes des groupes finis

  Cet exposé a été donné par Irène Marcovici (élève de prépa) le 6 novembre 2005. Il s'agit de présenter la théorie usuelle des représentations complexes des groupes finis, et en particulier d'introduire la notion de caractère et de préciser comment ceux-ci sont utilisés pour les classifier.
  On se focalise ensuite sur les représentations du groupe symétrique et on explique comment elles sont décrites par les diagrammes et les tableaux d'Young.

• Calcul de ζ(2n) par des méthodes d'analyse complexe

  Cet exposé a été donné par Antony Lee (élève de prépa) le 11 décembre 2005. En son temps, Euler avait proposé une méthode pour le calcul de la somme des inverses des carrés basée sur l'emploi d'une formule valable pour les polynômes à la fonction sinz / z.
  Le but de cet exposé est de montrer comment on peut rendre rigoureuse la preuve d'Euler. Pour cela, on introduit les bases de l'analyse complexe et on interprète la formule utilisé par Euler comme une instance du théorème des résidus. On étend ensuite la méthode au calcul de la somme des inverses des puissances n-ièmes des entiers pour tout n pair.

• Énumération des revêtements ramifiés de la sphère

  Cet exposé a été donné par Dimitri Zvonkine le 15 janvier 2006. On commence par présenter un problème élémentaire sur les polynômes : combien y a-t-il de polynômes de degré n (unitaires et n'ayant pas de terme en x^(n-1)) qui ont n valeurs critiques fixées. On explique alors comment ce problème se traduit géométriquement, et comment il est relié au dénombrement des arbres à n sommets.
  On donne ensuite une seconde méthode de comptage faisant intervenir les surfaces de Riemann et la géométrie algébrique.

• Les ovales de Cassini

  Cet exposé a été donné lors du stage de Saint-Malo par Dimitri Zvonkine. Si on se donne un polynôme à deux variables, on peut regarder l'ensemble de ses points d'annulation dans le plan. Cet ensemble détermine en général une courbe. À déformation près ressemble soit à un cercle soit à une droite lorsque le polynôme est de degré 2
  Pour les degrés supérieurs, on a une description analogue et on s'intéresse au problème inverse. Étant donnée une telle description envisageable, existe-t-il effectivement un polynôme qui la donne. La réponse à cette question passe par des considérations a priori assez éloignées et proches de la combinatoire.

• Ceci n'est pas un titre

  Cet exposé a été donné lors du stage de Saint-Malo par Yann Ollivier. Il s'agit de présenter et de discuter les théorèmes de Gödel. Les énoncés donnés sont précis et le texte a une portée beaucoup plus mathématique que philosophique.
  Périodiquement, des défis sont lancés au lecteur pour le tenir vif et stimulé.