Enoncé :
On considère 
réels, 
, tels que pour tout sous-ensemble 
de 
de
cardinal 
, il existe un sous-ensemble 
de 
de cardinal 
, vérifiant :
sont égaux.
Démonstration :
Remarquons tout d’abord que quitte à tout translater, on peut supposer que 
.
Supposons dans un premier temps que les 
sont des entiers. Dans ce cas, si 
est un sous-ensemble
de 
de cardinal 
, alors 
et donc, puisque 
et 
sont
premiers entre eux, 
. On en déduit que pour tout 
, 
,
c’est-à-dire que tous les 
sont des multiples de 
. Bien entendu la famille des 
est encore solution
du problème. Par descente infinie, on montre finalement que tous les 
sont nuls, ce qui est bien ce que
l’on voulait.
Traitons maintenant le cas général. On procède par approximation.
Prenons une famille 
de réels vérifiant la condition de l’énoncé. Notons 
un entier strictement
positif et supérieur à tous les inverses des 
pour 
non nul. En appliquant le principe des tiroirs, on
obtient un entier strictement positif 
et des entiers relatifs 
tels que 
pour tout
. On peut bien entendu choisir 
.
Montrons que la famille des 
satisfait encore aux hypothèses de l’énoncé. Prenons donc 
un
sous-ensemble de 
de cardinal 
. Alors on peut trouver un sous-ensemble 
de
de cardinal 
tel que :
On en déduit par le cas précédent que tous les 
sont nuls et donc que 
, ce qui
est impossible si 
par définition de 
.