Polynômes positifs sur [0,1]

Enoncé :

Pour tous entiers positifs ou nuls $n$ et $i$ tels que $n \< i$ , on note $P = (1 -X)i Xn -i n,i$ . Soit $P$ un polynôme non nul à coefficients réels. Alors $P$ s’écrit comme une combinaison linéaire à coefficients positifs des $P n,i$ si et seulement si $P$ est strictement positif sur l’intervalle ouvert $I=]0,1[$ .

Démonstration :

Le sens direct est évident... Il est là juste pour bien montrer que l’on aura du mal à affaiblir les hypothèses :-).

Pour la réciproque, traitons tout d’abord le cas où $P (X) = (X - c)2 + e$ où $0 < c < 1$ et $e > 0$ . Tout d’abord quelques notations : on définit $a$ et $b$ par $P (X) = X2 + aX +b$ et on pose $a=P(0)>0$ et $b = P (1) > 0$ . $P$ s’écrit alors $P (X) = X2 + (b- a - 1)X + a$ .

Fixons pour l’instant un entier $n >= 2$ . On remarque que $(P ) n,i0\<i\<n$ est une base de $R [X] n$ (l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré plus petit que $n$ ) et que la matrice de passage de cette base à la base $n (X ,...,X, 1)$ est $( i+j i) A = (- 1) Cj 0\<i,j\<n$ avec la convention $i Cj = 0$ si $i>j$ ou $i<0$ .

Cette matrice est aussi la matrice de l’application linéaire $P (X) '--> P (X - 1)$ écrite dans la base $(1,X,...,Xn)$ . L’inverse est donc donné par $A -1 = (Ci) j 0\<i,j\<n$ . Les coefficients qui apparaissent dans la décomposition de $P$ dans la base des $(Pn,i)$ sont donc :

k k k k-1 k k-1 Cn-2 + aC n-1 + bCn = aCn-1 + bCn-1 - Cn-2

pour $k$ entier allant de $1$ à $n - 1$ (on vérifie les cas $k = 0$ et $k = n$ à part qui redonnent $a >= 0$ et $beta>=0$ ).

Pour que tous ces coefficients soient positifs ou nuls, il suffit donc que pout tout entier $k$ entre $1$ et $n-1$ :

(n- 1)! (n - 1)! (n -2)! a -------------+ b ------------- ----------------->= 0 (k - 1)!(n- k)! k!(n - k- 1)! (k- 1)!(n- k -1)!

soit en simplifiant :

-a---+ b->= --1-- n- k k n - 1

En multipliant par $n$ et en posant $t = k n$ , on obtient la condition suffisante suivante :

-a-- b- --n-- A t (- I, 1- t + t >= n- 1

D’autre part, on a bien sûr $[t( V~ a-+ V~ b)-- V~ a]2 >= 0$ , et donc en développant, en bidouillant et en divisant par $t(1- t)$ , on obtient :

a b (V ~ - V~ -)2 A t (- I, 1--t +-t >= a + b

En particulier, si $-- V~ -- V~ ---- V~ a+ b >= nn--1$ , tous les coefficients de la décomposition seront positifs et le théorème est démontré. Comme $( V~ -n-) n-1$ est une suite décroissante de limite $1$ , pour avoir le cas particulier énoncé, il suffit de prouver que l’on a toujours $-- V~ a-+ V~ b > 1$ . Mais cela est vrai, car l’on a :

V~ ---------- V~ a-+ V~ b-= V~ c2-+-e+ (1- c)2 + e > c + 1- c = 1

Pour le cas général, on remarque tout d’abord que, quitte à diviser par le coefficient dominant, on peut supposer que le polynôme $P$ est unitaire.

On procède par récurrence sur le dégré du polynôme. S’il est de degré $0$ , ce n’est pas très difficile. Prenons maintenant un polynôme $P$ unitaire de degré $n$ strictement positif sur $I$ . Notons $m$ le minimum de $P$ sur $[0,1]$ . Le polynôme $P - m$ est strictement positif sur $I$ et s’annule sur $[0,1]$ .

On écrit alors :

prod k P (X) = m + Xp (1- X)q (X - ci)2ai Q(X) i=1

où $p$ , $q$ et $k$ sont des entiers éventuellement nuls (mais pas tous les trois simultanément), les $ai$ sont des entiers strictement positifs (les racines de $P$ dans $I$ sont de multiplicité paire car $P$ ne change pas de signe dans leur voisinage) et $Q$ est un polynôme strictement positif sur $I$ .

Si $k=0$ , alors on applique l’hypothèse de récurrence à $Q$ et on conclut en remarquant que les $(Pn,i)$ sont stables par produit.

Supposons donc que $k > 0$ . On a alors forcément $m > 0$ . On prend $e > 0$ et on écrit :

p q prod k[ 2ai ] P (X) = R (e,X) + X (1- X) (X - ci) +e Q (X) i=1

On voit facilement que le coefficient constant de $R (e,X)$ vu comme polynôme en $e$ est $m > 0$ donc en particulier pour un certain $e > 0$ il va être strictement positif sur $[0,1]$ .

On considère alors ce $e$ . En regardant les coefficients en degré $n$ , on voit que $R$ est de degré strictement inférieur à $n$ . On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à $Q$ et $R$ et le cas précédent aux polynômes $(X - c )2ai + e i$ , ce qui permet de conclure.

Page web de Xavier Caruso

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