Plein de points dans Zⁿ

Enoncé :

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$ . On considère $X1, ...,X2n- 1$ , $n 2 - 1$ $n$ -uplets d’entiers relatifs. Montrer qu’il existe un $n$ -uplet d’entiers relatifs $X$ tel que pour tout $i$ , le segment ouvert qui relie $X$ à $Xi$ ne passe par aucun point à coordonnées entières.

Démonstration :

Remarquons en premier lieu que le cas $n = 1$ est trivial. On supposera donc $n >= 2$ .

Fixons tout d’abord quelques notations. On va noter $X = (x1,...,xn)$ et $Xi = (xi,1,...,xi,n)$ . La condition énoncée peut se redire de la façon suivante :

A i (- {1,...,2n- 1}, Pgcd (x1 - xi,1,...,xn- xi,n) = 1

ce qui est encore équivalent à :

n A i (- {1,...,2 - 1}, A p premier, (x1,...,xn) / =_ (xi,1,...,xi,n) (mod p)

Notons maintenant $pk$ le $k$ -ième nombre premier et essayons de résoudre ce système de congruences en se limitant aux $s$ premiers nombres premiers, avec $p1 ...ps > max|xi,j|$ . On obtient :

(x,...,x ) =_ (y ,...,y ) (mod p ) { (x1,...,xn) =_ (y1,1,...,y1,n) (mod p1) (S) : 1 n . 2,1 2,n 2 .. (x1,...,xn) =_ (ys,1,...,ys,n) (mod ps)

où $(yk,1,...,yk,n)/ =_ (xi,1,...,xi,n) (mod pk)$ pour tout $k$ et pour tout $i$ . À $k$ fixé, il existe donc au moins $nn pk-2+1$ possibilités différentes modulo $pk$ pour le choix de $(yk,1,...,yk,n)$ . Ainsi il existe au moins :

prod s As = (pnk- 2n + 1) k=1

systèmes de congruences classiques qui fournissent une solution de $(S)$ . D’apres le lemme chinois, à chacun d’entre eux correspond une solution telle que pour tout $i$ , $1 \< xi \< p1 ...ps$ .

La dernière inégalité prouve que si $p$ est un nombre premier plus grand que $p1...ps$ , alors $(x1,...,xn)/ =_ (xi,1,...,xi,n) (mod p)$ (car sinon il y aurait réellement égalité et il y aurait déjà égalité modulo $2$ par exemple, ce qui est supposé faux).

Reste donc à étudier les nombres premiers compris entre $ps$ et $p1...ps$ . Soit donc $p$ un nombre premier compris entre $ps$ et $p1...ps$ . Le nombre de $n$ -uplets pour lesquels la condition de congruence modulo $p$ n’est pas satisfaite est majoré par $( ) (2n - 1) p1..p.ps+ 1$ . Ainsi le nombre de $n$ -uplets qui vont être rejetés par les conditions de congruence modulo $p$ , pour $ps < p < p1...ps$ , sera majoré par :