Stage de Saint-Malo

Ce stage, qui s'est déroulé du dimanche 27 juillet 2003 au dimanche 3 août 2003 entre les ramparts de Saint-Malo, a réuni une vingtaine d'élèves de lycées, majoritairement les lauréats des olympiades académiques de première. Cette semaine a été l'occasion de faire beaucoup de mathématiques dans une ambiance toujours particulière. Vous trouverez ici, en plusieurs morceaux, le poly qui a été remis à la fin du stage à chacun des élèves.

Vous pouvez également consulter le site créé par les stagiaires à cette occasion, ainsi que son forum.

(Cliquez sur le pour faire apparaître un résumé)

• Le test de bienvenue

  Le premier soir, juste après le repas, les élèves ont eu à plancher sur un test. Ce test n'a pas une importance capitale (les autres non plus d'ailleurs) et permet de situer le niveau pour mieux cibler les interventions ultérieures.
  Les exercices, bien que relativement faciles, sont loin d'être pour celui qui n'a pas l'habitude. Entraînez-vous à les résoudre.

• Stratégies de base

  On expose dans ce cours les divers raisonnements qu'il est bon de connaître et les divers réflexes qu'il est bon d'avoir pour attaquer les problèmes olympiques.
  Par exemple les raisonnements par l'absurde et par récurrence sont mentionnés et illustrés par des exemples souvent tirés de compétition. On présente également le principe des tiroirs de Dirichlet, l'intérêt de l'utilisation de la base 2, des méthodes de construction pas forcément courantes, etc.

• Les équations fonctionnelles

  Une équation fonctionnelle est une équation dans laquelle l'inconnu est une fonction. Typiquement, il s'agit de trouver toutes les fonctions f : R → R vérifiant f(x+y) = f(x)+f(y).
  Ce cours présente les méthodes classiques servant à résoudre ce genre de questions suivant les hypothèses faites sur la fonction : ensemble de départ et d'arrivée, continuité, dérivabilité, etc.
  Ce cours est accompagné de nombreux exercices.

• Les graphes

  On présente de façon classique la notion de graphes et ses applications à des problèmes concrets ou abstraits. En particulier, on s'intéresse aux problèmes de parcours et de coloriage.
  Ce cours est accompagné de nombreux exercices.

• La géométrie

  Il est question de géométrie plane et le point de vue analytique est bani. On donne les diverses propriétés des droites, des cercles et du triangle. En particulier, on discute la droite et le cercle d'Euler, les théorème de Ceva et de Ménélaüs et on explique les conditions de cocyclicité.
  Ce cours est accompagné de nombreux exercices.

• L'arithmétique

  Il s'agit d'un cours classique d'arithmétique où après avoir présenté les premières notions (nombres premiers, divisibilité...), on s'intéresse particulièrement aux congruences. En particulier, on énonce et prouve le théorème chinois.
  Ce cours est accompagné de nombreux exercices.

• Le test final

  On ne pouvait terminer le stage sans un test. Il reprend assez fidèlement le contenu des cours précédents et propose des exercices probablement plus difficiles que ceux du test de bienvenue.

• Les ovales de Cassini

  Ce texte reprend une conférence donnée le mercredi soir. Si on se donne un polynôme à deux variables, on peut regarder l'ensemble de ses points d'annulation dans le plan. Cet ensemble détermine en général une réunion de courbes. À déformation près, il ressemble soit à un cercle soit à une droite lorsque le polynôme est de degré 2.
  Pour les degrés supérieurs, on a une description analogue et on s'intéresse au problème inverse. Étant donnée une telle description envisageable, existe-t-il effectivement un polynôme qui la donne ? La réponse à cette question passe par des considérations a priori assez éloignées et proches de la combinatoire.

• Ceci n'est pas un titre

  Ce texte reprend une conférence donnée le jeudi soir. Il s'agit de présenter et de discuter les théorèmes de Gödel. Les énoncés donnés sont précis et le texte a une portée beaucoup plus mathématique que philosophique.
  Périodiquement, des défis sont lancés au lecteur pour le tenir vif et stimulé.

• La muraille

  Durant tout le stage, un mur était placardé d'exercices divers et variés. Les stagiaires pouvaient les chercher pendant leur temps libre. Ils remettaient ensuite leur solution à un encadrant qui la vérifiait et enlevait l'exercice du mur si la solution était correcte.
  Vous trouverez ici tous les énoncés et les solutions correctes proposées par les élèves.