Il m'est arrivé de temps en temps de taper quelques textes. Je tiens à préciser tout de suite qu'un grand nombre d'entre eux restent inachevés à ce jour et vont sûrement le rester pendant encore longtemps... quoiqu'il doit être noté quelque part qu'il faut que je les termine. Je ne garantis bien entendu en aucune façon que tous ces textes sont exempts d'erreurs. Je suis même prêt à garantir que de nombreuses erreurs, aussi bien d'orthographe que de mathématiques, se cachent à l'intérieur de chacun des textes suivants ou encore, plus perfides, ne se cachent pas du tout, restent bien sagement au beau milieu de la page et sautent promptement à l'oeil du lecteur abasourdi qui devient par la même hésitant et affaibli. Enfin bon, je ne vais pas plus détailler la vie merveilleuse des erreurs, juste dire que si vous en voyez, n'hésitez pas à me les signaler.
Finalement la plupart des dates qui figurent sur les documents n'ont pas grande signification non plus... ça veut simplement dire en général que j'ai compilé tel document tel jour pour une raison souvent futile, typiquement parce que je n'arrivais plus à mettre la main sur la dernière version compilée. Il faudrait d'ailleurs que je pense à corriger ça.
Commençons par les choses sérieuses:
J'ai fait mon mémoire de DEA sous la direction de Christophe Breuil, chercheur au CNRS. Cet exposé se propose de démontrer un cas connu d'un résultat conjecturé par Serre. Ce texte contient normalement suffisamment de rappels pour être compréhensible par un étudiant ayant suivi un cours d'algèbre de niveau DEA.
Comme son nom l'indique, ce texte est une présentation des S-schémas en R-modules. Il est inachevé à ce jour, le restera sans doute à jamais, et contient à coup sûr un nombre important d'erreurs ou d'imprécisions étant donné que je ne l'ai jamais relu. M'enfin.
Ces notes ont été écrites suite au cours de DEA donné par Bernhard Keller à l'Université Paris VII. Elles sont incomplètes et risquent en fait de le rester longtemps, mais il y a déjà de quoi faire.
Ce texte, que j'ai écrit avec Erwan Biland (élève en maths de ma promotion), se propose de démontrer que toute extension finie non triviale de Q se ramifie en au moins un idéal premier. Les notions d'anneau de Dedekind et de ramification sont introduites dans le contexte qui nous intéresse, un parallèle est même fait avec les surfaces de Riemann donnant ainsi une intuition géométrique à tout ce qui est dit. Normalement des connaissances d'algèbre de base et un peu de théorie de Galois fini suffisent à comprendre ce papier.
Joël Riou a écrit pour nous cet exposé qui traite sans aucun doute du groupe des tresses d'Artin. Attention à ne pas faire de déductions hatives: certains jolis dessins ornant cet exposé doivent être de ma production...
Ces notes ont été écrites suite à un cours d'Ivar Ekeland. Quelques rappels d'analyse précèdent la démonstration du théorème de Nash de sorte que ce document doit rester accessible à un élève moyen de spé (ou de deuxième année de deug), disons.
Ce groupe de lecture avait pour sujet les représentations de groupes. L'intérêt principal a été en fait les représentations des groupes finis, et donc en particulier le groupe des permutations S_n. Le document se propose de démontrer une formule dûe à Frobenius qui permet de calculer sans réfléchir les caractères des représentations irréductibles de ce groupe.
La cryptographie est l'art de transmettre un message secret à travers un canal public sans que quiconque n'ait la possibilité de connaître l'information qui a été transmise. Au début de ce siècle, notamment grâce à l'apparition et le développement extraordinaire de l'informatique, de nombreuses idées nouvelles de cryptographie ont émergé et se sont rapidement imposés. Ce papier étudie une méthode particulière de codage basée sur ces nouvelles idées...
Le théorème dit que lorsque l'on trace les trisectrices des trois angles d'un triangle quelconque, les points d'intersection obtenus sont les sommets d'un triangle équilatéral. Il est en général réputé pour amener les démonstrations pénibles et calculatoires. L'une d'entre elles, proposée par Alain Connes, est assez connu pour être relativement simple, mais celle proposée ici (je ne sais pas qui en est l'auteur initialement, je l'ai entendu dans un cours de géométrie à un stage Animath) est assez impressionnante, me semble-t-il. Bonne lecture.
Je suis cette année, via Animath, tuteur de plusieurs élèves de seconde. L'idée du tutorat est d'une part de donner un point de vue sur les mathématiques différent de celui qui est enseigné en lycée par exemple en leur faisant découvrir par eux-mêmes des théories nouvelles, et d'autre part de donner à ces élèves certains reflexes, certaines stratégies bien utiles autant pour les exercices que pour leur vie future. Il serait malhonnête de ne pas dire que l'on espère ainsi avoir de meilleurs candidats pour les Olympiades de mathématiques.
Voici donc une série de textes tapés à ce propos:
Depuis que vous connaissez les équations, je suis sûr que vous rêvez de formules générales pour les résoudre. Celles de degré 1, c'est simple, mais les autres. Celles de degré 2, de degré 3, etc., on fait comment ? Ce document donne des méthodes générales pour résoudre les équations de degré 2, 3 et 4. Pourquoi pas 5 me diriez-vous ? Parce qu'aussi incroyable que cela puisse paraître, on n'en connaît et même mieux, on a prouvé qu'il n'en existait pas. Mais ce n'est pas pour ça qu'il faut abandonner...
« Nous sommes deux droites parallèles et nous nous intersectons, et c'est notre choix. » Voilà grosso modo la philosophie de la géométrie projective et ce n'est pas tout à fait idiot en fait. Imaginez une photographie d'un long long long couloir tout ce qu'il y a de plus désert, tout ce qu'il y a de plus passionnant quoi. Alors les deux murs du couloir sont parallèles mais sur la photographie, le couloir va devenir de plus en plus étroit et les deux murs du couloir vont finir par s'intersecter en un certain point.
Un jeu a priori comme les autres, a priori sans grand intêret juste amusant. Mais si l'on veut jouer pour gagner, il faut jouer de façon intelligente et ce n'est pas toujours simple. On n'a jamais droit à l'erreur, dans le sens où pour un adversaire entraîné toute erreur peut être fatale. Comment choisir le meilleur coup à chaque moment ? Les mathématiques peuvent répondre à cette question... et après avoir lu ce texte, vous pourrez vous amuser à battre tous vos amis tout le temps à ce petit jeu.
Ou encore quel est le nombre le plus grand ? C'est un jeu auquel je jouais personnellement beaucoup quand j'étais petit. C'est tellement fascinant et troublant les grands nombres et on est tellement content de savoir compter plus loin que ses copains. Mais un jour que je mettais quelqu'un au défi de connaître des nombres plus grands que moi, il m'a répondu « l'infini ». Ah, que dire ? J'ai répondu sans vergogne « l'infini plus un » et je n'avais en fait pas tort. C'est bien un nombre, et il est bien strictement plus grand que « l'infini ». Mais alors quel est le nombre le plus grand ?
Et voici des transparents qui ont servi à donner des exposés sur des sujets plutôt recyclés :
Comme toutes les années, un stage olympique est organisé et offert aux élèves de première, lauréat des olympiades françaises de mathématiques, ainsi qu'à quelques autres triés sans doute selon des algorithmes douteux. Cette année, le stage a eu lieu du 27 juillet au 3 août 2003, dans la ville de Saint-Malo. Vous pouvez aller voir ici ce qui s'y est dit. Allez aussi voir là ; c'est le site officiel (?) monté par les stagiaires.
Il s'agit d'un texte qui présente l'axiome du choix dans le formalisme de la théorie des ensembles puis divers exemples où on voit qu'il est ou n'est pas utilisé. Il est censé pouvoir se lire avec très peu de bagage mathématique, toutefois il risque d'en rébuter plus d'un qui n'a jamais été confronté à la logique.
Il est à noter que la version html est antérieure aux versions ps et pdf, mais les changements faits sont minimes.
Voici des choses un peu moins sérieuses, assez peu détaillées et vaguement laissées à l'abandon. Il s'agit en général d'exercices ou de problèmes plus ou moins concrets et naturels que l'on cherche à résoudre sans pourtant y trouver une solution complète. Nombre de ces textes pourront par exemple intéresser des élèves ou des professeurs de spé qui cherchent des exercices de khôlle ou des sujets de TIPE (le thème a sans doute changé depuis le temps, mais si mes souvenirs sont bons des efforts considérables sont faits pour trouver des titres différents chaque année mais qui englobent toujours tous les sujets possibles).
Un homme marche droit devant lui, sans se retourner, inlassablement, sur une plage par un sombre matin d'hiver. Son chien le suit. Tout d'un coup, il aperçoit une poubelle et se met à courir vers elle, espérant y trouver ce que les chiens espèrent trouver dans les poubelles. Son maître n'y prête pas attention, poursuit son chemin perdu dans ses pensées. Son marché terminé, le chien décide de revenir aux côtés de son maître, il fonce donc vers lui, mais celui-ci ne l'attend pas bien entendu, il ne s'est d'ailleurs sans doute même pas aperçu qu'il était parti. Quel est la trajectoire que va décrire le chien afin de rattraper notre promeneur solitaire ?
Si (u_i) est une famille sommable, on sait que sommer ses éléments dans n'importe quel ordre n'influencera pas le résultat final. Mais on peut imaginer plein d'autres façons de réaliser la somme de cette famille. On peut par exemple faire deux paquets et sommer chacun indépendemment. On peut aussi faire une infinité de paquets puis obtenir ainsi une nouvelle famille que l'on somme encore un peu comme on veut. On peut intervertir l'ordre dans chacun de ces paquets, voire refaire des paquets à l'intérieur. On décrit ici toute une floppée de méthodes pour faire ces sommes et on prouve encore que le résultat ne dépend pas de la méthode choisie.
Un moulin qui tourne, de l'eau qui l'entraîne, un problème physique qui admet une solution chaotique... tout pour plaire. Le seul problème est que ce texte est loin d'être terminé et que je n'arrive pas non plus à retrouver tous le jolis dessins et jolies expériences qui en faisaient l'attrait. Donc si ça vous amuse, essayez de refaire ces calculs, et envoyez moi les résultats s'il vous plait.
Il s'agit sans doute d'exercices que j'ai dû trouver intéressant ou amusant à une période de ma vie puisque j'ai pris la peine de les rédiger avec leur solution. Les voici donc: