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Une classe d'espaces topologiques

 
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Auteur Message
Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 08 Fév 2008, 15:35    Sujet du message: Une classe d'espaces topologiques Répondre en citant

Soit [tex:b377f6b72a]\mathcal C[/tex:b377f6b72a] la plus petite classe d'espaces topologiques telle que :

1) les espaces à un point sont dans [tex:b377f6b72a]\mathcal C[/tex:b377f6b72a],
2) si [tex:b377f6b72a]X \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a] et [tex:b377f6b72a]F[/tex:b377f6b72a] fermé de [tex:b377f6b72a]X[/tex:b377f6b72a], alors [tex:b377f6b72a]F \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a] (pour la topologie induite),
3) si [tex:b377f6b72a]X \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a], et [tex:b377f6b72a]f : X \to Y[/tex:b377f6b72a] est continue et surjective, alors [tex:b377f6b72a]Y \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a],
4) si [tex:b377f6b72a]X \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a], et [tex:b377f6b72a]Y[/tex:b377f6b72a] est quasi-compact ultraconnexe (ie admet un plus petit fermé non-vide), alors [tex:b377f6b72a]X \times Y \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a] (avec la topologie des croix, cf sujet sur les topologies d'un produit),
5) si [tex:b377f6b72a]X_1, X_2 \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a], alors [tex:b377f6b72a]X_1 \coprod X_2 \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a] (avec la topologie coproduit, ie la topologie de l'union disjointe).

En particulier, la condition 2) dit que :
- tout quotient d'un espace [tex:b377f6b72a]X \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a] est dans [tex:b377f6b72a]\mathcal C[/tex:b377f6b72a],
- si [tex:b377f6b72a]\mathcal T' \subseteq \mathcal T[/tex:b377f6b72a] sont deux topologies sur [tex:b377f6b72a]X[/tex:b377f6b72a] telles que [tex:b377f6b72a](X, \mathcal T) \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a], alors [tex:b377f6b72a](X, \mathcal T') \in \mathcal C[/tex:b377f6b72a].

Soit [tex:b377f6b72a]\mathcal C'[/tex:b377f6b72a] la classe des espaces quasi-compacts où toute famille de fermés non vides deux-à-deux disjoints est finie.

[tex:b377f6b72a]\mathcal C'[/tex:b377f6b72a] vérifie : 1), 2), 3), 4) (seul point non-trivial, voir la preuve plus bas) et 5), donc [tex:b377f6b72a]\mathcal C \subseteq \mathcal C'[/tex:b377f6b72a].

Question : a-t-on [tex:b377f6b72a]\mathcal C = \mathcal C'[/tex:b377f6b72a] ?

Montrons que [tex:b377f6b72a]\mathcal C'[/tex:b377f6b72a] satisfait le point 4) :
Soit [tex:b377f6b72a]X \in \mathcal C'[/tex:b377f6b72a], et [tex:b377f6b72a]Y[/tex:b377f6b72a] un espace quasi-compact et ultraconnexe. On met la topologie des croix sur [tex:b377f6b72a]X \times Y[/tex:b377f6b72a].

Soit [tex:b377f6b72a]y \in Y[/tex:b377f6b72a] un point dont le seul voisinage est [tex:b377f6b72a]Y[/tex:b377f6b72a], ie un point du plus petit fermé non vide de [tex:b377f6b72a]Y[/tex:b377f6b72a].
On définit [tex:b377f6b72a]s : \begin {matrix} X & \to & X \times Y \\ x & \mapsto & (x, y) \end {matrix}[/tex:b377f6b72a].

Soit [tex:b377f6b72a](U_i)_{i \in I}[/tex:b377f6b72a] un recouvrement ouvert de [tex:b377f6b72a]X \times Y[/tex:b377f6b72a].
Pour [tex:b377f6b72a]i \in I[/tex:b377f6b72a], posons [tex:b377f6b72a]V_i = s^{\left< -1 \right>) \left< U_i \right>[/tex:b377f6b72a].
Alors [tex:b377f6b72a](V_i)_{i \in I}[/tex:b377f6b72a] est un recouvrement ouvert de [tex:b377f6b72a]X[/tex:b377f6b72a]. Par quasi-compacité, on a [tex:b377f6b72a]J[/tex:b377f6b72a] partie finie de [tex:b377f6b72a]I[/tex:b377f6b72a] telle que [tex:b377f6b72a](V_j)_{j \in J}[/tex:b377f6b72a] recouvre [tex:b377f6b72a]X[/tex:b377f6b72a].
Or, pour [tex:b377f6b72a]i \in I[/tex:b377f6b72a], on a [tex:b377f6b72a]V_i \times Y \subseteq U_i[/tex:b377f6b72a] (car le seul voisinage de [tex:b377f6b72a]y[/tex:b377f6b72a] est [tex:b377f6b72a]Y[/tex:b377f6b72a]).
Donc [tex:b377f6b72a](U_j)_{j \in J}[/tex:b377f6b72a] est un sous-recouvrement fini de [tex:b377f6b72a](U_i)_{i \in I}[/tex:b377f6b72a].
Il vient que [tex:b377f6b72a]X \times Y[/tex:b377f6b72a] est quasi-compact.

Maintenant, soit [tex:b377f6b72a](F_i)_{i \in I}[/tex:b377f6b72a] une famille de fermés non vides et deux-à-deux disjoints de [tex:b377f6b72a]X \times Y[/tex:b377f6b72a].
Alors, pour [tex:b377f6b72a]i \in I[/tex:b377f6b72a], on pose [tex:b377f6b72a]G_i = s^{\left< -1 \right>} \left< F_i \right>[/tex:b377f6b72a].
[tex:b377f6b72a](G_i)_{i \in I}[/tex:b377f6b72a] est une famille de fermés non vides (car [tex:b377f6b72a]y[/tex:b377f6b72a] est dans tout fermé non vide de [tex:b377f6b72a]Y[/tex:b377f6b72a]), et comme [tex:b377f6b72a]X \in \mathcal C'[/tex:b377f6b72a], [tex:b377f6b72a]I[/tex:b377f6b72a] est finie.
Il vient que, dans [tex:b377f6b72a]X \times Y[/tex:b377f6b72a], toute famille de fermés non vides et deux-à-deux disjoints est finie.

Donc [tex:b377f6b72a]X \times Y \in \mathcal C'[/tex:b377f6b72a].
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Dernière édition par Thibaut le 09 Fév 2008, 11:20; édité 1 fois
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Cerise
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MessagePosté le: 08 Fév 2008, 21:21    Sujet du message: Répondre en citant

C'est moi, ou tu es obsédé par la topologie depuis quelques mois ?
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Thibaut
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MessagePosté le: 09 Fév 2008, 1:42    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, plus longtemps que ça, en fait. Depuis que j'ai découvert ça en fin de sup, je crois.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 09 Fév 2008, 7:43    Sujet du message: Répondre en citant

On est potes alors Razz
Joli pour l'heure de postage Razz
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Cerise
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MessagePosté le: 09 Fév 2008, 8:39    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Euh, plus longtemps que ça, en fait. Depuis que j'ai découvert ça en fin de sup, je crois.

Ouais mais depuis quelques mois tu postes toutes tes questions / découvertes partout...
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 09 Fév 2008, 9:27    Sujet du message: Répondre en citant

C'est parce que j'ai pris l'habitude de les rédiger... Après, vu qu'il ne reste plus qu'à convertir quelques dollars en [ tex] et [ /tex], et faire le travail de précompilation de LaTeX pour que ça passe sur forum, bah voilà...

Jill-Jênn a écrit:
Joli pour l'heure de postage Razz
Shbam.
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Cerise
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MessagePosté le: 09 Fév 2008, 21:06    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
bah voilà...

Bah ouais mais ici tu es essentiellement le seul à comprendre ce que tu écris... Alors bon, poster pour poster... On appelle ça du flood Wink
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Thibaut
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MessagePosté le: 10 Fév 2008, 22:20    Sujet du message: Répondre en citant

Bah, j'espérais que ça intéresse au moins quelqu'un (genre Toumaf, henri, ou que sais-je)...
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Abou
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 12 Fév 2008, 19:40    Sujet du message: Répondre en citant

(En tant que tel je trouve ça intéressant. Après j'ai pas du tout le temps de vraiment m'y pencher, donc si on ajoute à ça le manque de connaissances pour tout saisir ça fait trop pour l'instant ... ou verra l'année prochaine ou dans deux ans!)
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 12 Fév 2008, 21:13    Sujet du message: Répondre en citant

L'année prochaine.
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yannick
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MessagePosté le: 15 Fév 2008, 21:00    Sujet du message: Répondre en citant

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